Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$



#2
Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!


#3
guongmatkhongquen

guongmatkhongquen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$

Bạn giải chi tiết hơn được không ạ


Khoảnh khắc bạn đang thực sự sống chính là khoảnh khắc của hiện tại. Đó là thời điểm duy nhất mà bạn có quyền và có thể kiểm soát mọi thứ. “Ngày hôm qua đã là lịch sử, ngày mai vẫn còn là điều bí ẩn, chỉ có hôm nay mới là một món quà, đó là lý do vì sao chúng ta gọi hiện tại là quà tặng của cuộc sống”. Hãy bắt đầu bằng cách cảm nhận những điều tốt đẹp ngay vào lúc này, bạn sẽ có được những giây phút tươi sáng và tràn đầy niềm vui trong tương lai.
:oto:
  :oto:  :oto:  :oto:  :oto: PHẠM VĂN LẠC  :oto:  :oto:  :oto:  :oto:  :oto:  :oto: 


#4
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Bạn giải chi tiết hơn được không ạ

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-Coopsski, ta có:

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\sum a\geq \sum (\frac{a}{ab+a+1})^2.$ (1)

Do abc=1 nên $\frac{b}{bc+b+1}=\frac{ab}{abc+ab+a}=\frac{ab}{1+a+ab}$

$\frac{c}{ac+c+1}=\frac{abc}{a^2bc+abc+ab}=\frac{1}{1+a+ab}\Rightarrow \sum \frac{a}{ab+a+1}=1$

Do đó $(1)\geq1$, ta được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 21-07-2015 - 13:00





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh