Giả sử $m,n$ là các số nguyên dương, $n>2$. Chứng minh rằng $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
$2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
#1
Đã gửi 20-07-2015 - 19:31
#2
Đã gửi 20-07-2015 - 20:27
$\texttt{Solution}$
$\blacklozenge$ Nếu $m<n$ thì với $n>2$ ta có : $2^m+1<2^n-1$
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
$\blacklozenge$ Nếu $m=n$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$
Với $n>2$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$ không phải là số nguyên.
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
$\blacklozenge$ Nếu $m>n$. Ta đặt $m=kn+r$ ($k$ nguyên dương, $r$ tự nhiên và nhỏ hơn $n$).
Khi đó : $\frac{2^m+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^r}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^{m-kn}}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}$
Nhận xét : $\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}$ nguyên. Vì $r<n$ nên theo chứng minh trên thì $\frac{2^r+1}{2^n-1}$ không nguyên
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
Vậy trong mọi trường hợp thì $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 20-07-2015 - 21:59
- Zaraki, hoanglong2k, ZzNightWalkerZz và 1 người khác yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#3
Đã gửi 20-07-2015 - 21:36
$\texttt{Solution}$
$\blacklozenge$ Nếu $m<n$ thì với $n>2$ ta có : $2^m+1<2^n-1$
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
$\blacklozenge$ Nếu $m=n$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$
Với $n>2$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$ không phải là số nguyên.
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
$\blacklozenge$ Nếu $m>n$. Ta đặt $m=kn+h$ ($k,h$ nguyên dương, $r$ tự nhiên và nhỏ hơn $n$.
Khi đó : $\frac{2^m+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^r}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^{m-kn}}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}$
Nhận xét : $\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}$ nguyên. Vì $r<n$ nên theo chứng minh trên thì $\frac{2^r+1}{2^n-1}$ không nguyên
Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$
Vậy trong mọi trường hợp thì $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$ $\square$
Cách giải rất hay nhưng $h$ biến mất đâu rồi anh?
- Belphegor Varia yêu thích
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#4
Đã gửi 20-07-2015 - 21:58
Cách giải rất hay nhưng $h$ biến mất đâu rồi anh?
Là $r$ , nghĩ 1 đằng viết 1 nẻo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 20-07-2015 - 22:38
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#5
Đã gửi 01-08-2015 - 15:06
Cố định $n$. Giả sử $m$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $2^n-1\mid 2^m+1$. Dễ thấy $m\geqslant n$
Nếu $m=n$ thì $2^n-1\mid 2^n+1\Leftrightarrow 2^n-1\mid 2$ vô lý.
Suy ra $m>n$ và $2^{n}-1\mid 2^{m}+2^{n}$ nên $2^{n}-1\mid 2^{m-n}+1$ vô lý vì $m-n<m$
- nhungvienkimcuong yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh