Chủ đề này có 4 trả lời

[htnghia97member]

Giả sử $m,n$ là các số nguyên dương, $n>2$. Chứng minh rằng $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

[Belphegor Varia]

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m<n$ thì với $n>2$ ta có : $2^m+1<2^n-1$

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m=n$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$ 

Với $n>2$ thì  $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$  không phải là số nguyên. 

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m>n$. Ta đặt $m=kn+r$ ($k$ nguyên dương, $r$ tự nhiên và nhỏ hơn $n$).

Khi đó : $\frac{2^m+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^r}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^{m-kn}}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}$

Nhận xét : $\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}$ nguyên. Vì $r<n$ nên theo chứng minh trên thì $\frac{2^r+1}{2^n-1}$ không nguyên

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

Vậy trong mọi trường hợp thì $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$    $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 20-07-2015 - 21:59

[ZzNightWalkerZz]

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m<n$ thì với $n>2$ ta có : $2^m+1<2^n-1$

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m=n$ thì $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$ 

Với $n>2$ thì  $\frac{2^m+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$  không phải là số nguyên. 

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

$\blacklozenge$ Nếu $m>n$. Ta đặt $m=kn+h$ ($k,h$ nguyên dương, $r$ tự nhiên và nhỏ hơn $n$.

Khi đó : $\frac{2^m+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^r}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^m-2^{m-kn}}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}=\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}+\frac{2^r+1}{2^n-1}$

Nhận xét : $\frac{2^{m-kn}(2^{kn}-1)}{2^n-1}$ nguyên. Vì $r<n$ nên theo chứng minh trên thì $\frac{2^r+1}{2^n-1}$ không nguyên

Suy ra $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$

 

Vậy trong mọi trường hợp thì $2^m+1$ không chia hết cho $2^n-1$    $\square$

Cách giải rất hay nhưng $h$ biến mất đâu rồi anh? 

[Belphegor Varia]

Cách giải rất hay nhưng $h$ biến mất đâu rồi anh? 

Là $r$ , nghĩ 1 đằng viết 1 nẻo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 20-07-2015 - 22:38

[Changg Changg]

Cố định $n$. Giả sử $m$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $2^n-1\mid 2^m+1$. Dễ thấy $m\geqslant n$

Nếu $m=n$ thì $2^n-1\mid 2^n+1\Leftrightarrow 2^n-1\mid 2$ vô lý.

Suy ra $m>n$ và $2^{n}-1\mid 2^{m}+2^{n}$ nên $2^{n}-1\mid 2^{m-n}+1$ vô lý vì $m-n<m$