Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết

cho a;b;c >o thỏa a+b+c=3.CM:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$



#2
Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

cho a;b;c >o thỏa a+b+c=3.CM:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$

$a^2+2\sqrt{a}\geqslant 3a\Rightarrow \sum a^2+2\sum \sqrt{a}\geqslant 3.\sum a=(a+b+c)^2\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geqslant \sum ab$


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!


#3
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

cho a;b;c >o thỏa a+b+c=3.CM:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$

Áp dụng AM-GM bộ $3$ số ta có $a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}.\sqrt{a}.\sqrt{a}}=3a$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc (đpcm)$

(Để ý giả thiết $3=a+b+c$)

Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh