Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $n=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

Cho: $p;q;r$ là $3$ số nguyên tố thỏa mãn:

$p^n+q^n=r^2$ với $n\in\mathbb{N}$

Chứng minh rằng: $n=1$


$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Cho: $p;q;r$ là $3$ số nguyên tố thỏa mãn:

$p^n+q^n=r^2$ với $n\in\mathbb{N}$

Chứng minh rằng: $n=1$

Dễ thấy $n\geq 1$. Xét $r=2$ thì $p=q=r=2$ nen $n=1$ thỏa mãn

Xét $r$ lẻ $\rightarrow p^n+q^n$ lẻ nên tồn tại $p$ hoặc $q$ chẵn. Giả sử $p=2$. Pt trở thành $2^n+q^n=r^2$

+) $n$ chẵn $q^n=r^2-2^n\equiv 0,2$ (mod $3$) nên $3|q\rightarrow q=3$. Pt : $2^n+3^n=r^2$. Với $n=2k$ ta xét dạng phương trình tích và dễ dàng suy ra vô lý. Do đó $n$ lẻ.

Với $n$ lẻ thì $r^2=2^n+q^n$ chia hết cho $2+q$ nên $2+q=r$ $(1)$ hoặc $r^2$ $(2)$

TH1: $v_r(2^n+q^n)=v_r(2+q)+v_r(n)=2\Rightarrow r|n$ nên $n\geq n$. Khi đó ta dễ dàng cm đc $2^n+(r-2)^n>r^2$

TH2: Nếu $n=1$ thì thỏa mãn. Nếu $n\geq 2$ thì $2^n+(r^2-2)^n\geq 2^2+(r^2-2)^2\geq \frac{r^4}{2}>r^2$

Do đó $n=1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh