Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác ta dựng hai tam giác $ADE,BCF$ sao cho $\Delta ADE=\Delta BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đaọn $AB,CD,EF$ cùng thuộc một đường thẳng
Lấy điểm $O$ bất kì
Dựng $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{BC}$
Dễ thấy $\Delta ORI = \Delta OSJ = \Delta ADE \Rightarrow OI=OJ$ $(1)$, $OR = OS$ $(2)$, $\widehat{IOR}=\widehat{JOS}$ $(3)$
Từ $(1)$, $(2)$ suy ra các tam giác $OIJ$, $ORS$ cùng cân tại $O$
Gọi $H$, $K$ là trung điểm của $IJ$, $RS$
Ta có : $\widehat{HOI}=\widehat{HOJ}$, $\widehat{KOR}=\widehat{KOS}$
Kết hợp với $(3)$ ta có : $\widehat{HOR}=\widehat{HOS}$, $\widehat{KOR}=\widehat{KOS}$
Do đó : $O$, $H$, $K$ thẳng hàng $(4)$
Gọi $M$, $N$, $P$ là trung điểm của $AB$, $CD$, $EF$
Ta có : $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OS} \right )=\overrightarrow{OK}$
Tương tự $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OH}$
Kết hợp với $(4)$ suy ra $\overrightarrow{MN}\parallel \overrightarrow{MP}$ hay $M$, $N$, $P$ thẳng hàng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 23-07-2015 - 11:36