Chủ đề này có 1 trả lời

[JayVuTF]

Cho $x,y,z \ge 0 ,x+y+z=3$ .Tìm Min : $x^4+2y^4+3z^4$

 

(Giải = PP Cân bằng hệ số với Holder  )

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z \ge 0 ,x+y+z=3$ .Tìm Min : $x^4+2y^4+3z^4$

 

(Giải = PP Cân bằng hệ số với Holder  )

Với ba số dương $a,b,c$ tùy ý đã cho,áp dụng bất đẳng thức $Holder$ cho 4 bộ 3 số dương $(a^4;2b^4;3c^4);(a^4;2b^4;3c^4);(a^4;2b^4;3c^4);(x^4;2y^4;3z^4)$,ta có:

$(a^4+2b^4+3c^4)^3.(x^4+2y^4+3z^4)\geq (a^3x+2b^3y+3c^3z)^4\Leftrightarrow f\geq \frac{(a^3x+2b^3y+3c^3z)^4}{(a^4+2b^4+3c^4)^3}$

Để sử dụng giả thiết $x+y+z=3$,ta chọn $a,b,c$ sao cho:$a^3=2b^3=3c^3\Leftrightarrow b=\frac{a}{\sqrt[3]{2}},c=\frac{a}{\sqrt[3]{3}}$

Với cách chọn này,ta có:$f\geq \frac{a^{12}(x+y+z)^4}{(a^4+2b^4+3c^4)^3}=\frac{(3a^3)^4}{\left ( a^4+2\frac{a^4}{\sqrt[3]{2^4}}+3\frac{a^4}{\sqrt[3]{3^4}} \right )^3}=\frac{3^4}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right )^3}$

Điều kiện xảy ra đẳng thức là $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ nếu chọn $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện bổ sung $a+b+c=3$ điều kiện này cũng có nghĩa là:$a+\frac{a}{\sqrt[3]{2}}+\frac{a}{\sqrt[3]{3}}=3\Leftrightarrow a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$ thì $f=\frac{3^4}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right )^3}$ khi và chỉ khi

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \\ y=b=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \\ z=c=\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \end{matrix}\right.$