Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[GGTH 2015] Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 11

ggth gặp gỡ toán học 2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-07-2015 - 12:51

Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 11

Thời gian làm bài: 210 phút.

Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.

  • Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
  • Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
  • Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

Bài 2. Xét hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ thoả mãn $a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, \forall n \ge 1$ và $b_1=1,b_2=3,b_{n+2}=b_{n+1}+b_n, \forall n \ge 1$.

  • Chứng minh rằng $b_n-5a_n^2=4(-1)^n$ với mọi $n$ nguyên dương.
  • Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho phương trình $a_nx+b_ny=2015$ có nghiệm nguyên $(x,y)$.

Bài 3. Cho đoạn thẳng $BC$ và điểm $A$ di chuyển trên đường tròn $\omega$ đường kính $BC$ sao cho $\angle ABC< \angle ACB$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ và $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, $F$ là trung điểm $AE$ và $BF$ cắt $\omega$ tại điểm thứ hai là $G$. Tiếp tuyến tại $A$ với $\omega$ cắt $BC$ tại $T$.

  • Chứng minh $BC$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFG$.
  • Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFG$ và $ATG$. Chứng minh rằng đường thẳng $O_1O_2$ đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Bài 4. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi tập hợp $S$ gồm $2015$ số nguyên phân biệt thì luôn tồn tại hai tập con khác nhau (không nhất thiết phải rời nhau) của $S$ mà mỗi tập có tổng các phần tử chia hết cho $n$.

 

Nguồn: Facebook anh Cẩn

 

Ps


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 23-07-2015 - 13:34

Bài 3. (a) Giả sử $H$ là trung điểm $AD$. Khi đó $FH || BD$

Ta có $\widehat{AGF}=\widehat{ADB}=\widehat{AHF}$ nên $H\in (AFG)$

Ngoài ra $\widehat{AFH}=\widehat{AED}=90^{o}$ nên đường tròn $(AFG)$ có đường kính $AH\perp BC$ và $H\in BC$

Do đó $BC$ tiếp xúc với $(AFG)$

(b) $(O)$ và $(AFG)$ có dây cung chung là $AG$ nên $OO_{1}\perp AG$

$(AFG)$ và $(AGT)$ có dây cung chung là $AG$ nên $O_1O_2\perp AG$

Do đó $O, O_1, O_2$ thẳng hàng nên $O_1O_2$ luôn đi qua $O$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-07-2015 - 13:35

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-07-2015 - 14:21

Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.

  • Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
  • Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
  • Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

$a+b+c=0;ab+ac+bc=-3;abc=-1$

$(a)$

$A=\frac{(1-a)(b+1)(c+1)+(1-b)(a+1)(c+1)+(1-c)(a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{-3abc-\sum ab+\sum a+3}{\sum abc+\sum ab+a+1}$
Thay vào thôi :v

$(b)$

$\sum (a^2-2)=\sum a^2-6=(a+b+c)^2-2\sum ab-6=0;...$

Thay vào, theo Viets đảo, dĩ nhiên có: $k^3-3k+1=0$

$(c)$

Theo câu $b$, có được: 

$a^2-2=a,a^2-2=b,a^2-2=c$

Nếu $a^2-a-2=0$ mâu thuẫn.

Nếu: $a^2-2=b$ $\Rightarrow b^2-2=c;c^2-2=a$

Điều này mâu thuẫn cho việc $a<b<c$


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ggth, gặp gỡ toán học, 2015

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh