Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 12
Thời gian làm bài: 210 phút.
Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thoả mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện:
- $f(f(n))=4n+3$ với mọi $n$ nguyên;
- $f(f(n)-n)=2n+3$ với mọi $n$ nguyên.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $D$ bất kì thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $(ODC)$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, $(ODB)$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. Điểm $M$ bất kì thuộc tia đối tia $DO$. Đường tròn $(MDE)$ cắt cạnh $OE$ tại $N$, $(MDF)$ cắt cạnh $OF$ tại $P$. Gọi $XYZ$ là tam giác tạo bởi ba đường trung trực các đoạn $DM,EN,FP$.
- Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $DEF$;
- Chứng minh rằng hai đường tròn $(MNP)$ và $(XYZ)$ đồng tâm.
Bài 4. Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
- Các số hạng của dãy số đôi một khác nhau;
- $a_1=5,a_2=4,a_3=3$;
- $a_n \ge n$ với mọi $n=1,2,3, \cdots$;
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n>m$ thoả mãn $a_n \ne n+1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 25-07-2015 - 22:07