Chủ đề này có 1 trả lời

[Johan Liebert]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh

$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3$

Bài này có yêu cầu là biến đổi sử dụng bất đẳng thức $\sum \frac{1}{a^2+a+1} \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 24-07-2015 - 16:44

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh

$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3$

$\frac{a+3}{(a+1)^{2}}+\frac{b+3}{(b+1)^{2}}+\frac{c+3}{(c+1)^{2}}=\sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{2}{(a+1)^{2}}$

Ta sẽ cm trong 3 BĐT sau có ít nhất một BĐT thức đúng : $ab\geq 1,bc\geq 1,ca\geq 1$

Thật vậy: Giả sử cả ba BĐT đều sai thì $ab<1,bc<1,ca<1\Rightarrow abc<1$, mâu thuẫn

K mất tính TQ, giả sử $ab\geq 1$, suy ra

$\sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{2}{(a+1)^{2}}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1}+\frac{1}{c+1}+\left (\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1} \right )+\frac{1}{(c+1)^{2}}\geq \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{c}}+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^{2}+1}= \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}=\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2c+1}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}$

Đến đây thì dễ rùi............

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 24-07-2015 - 16:53