Chủ đề này có 6 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Tìm n thỏa mãn : $a)5^{n}+1\vdots n$

                           $b)5^{n}+1\vdots n^{2}$

                         $c)5^{n}+1\vdots n^{3}$

[Silverbullet069]

Tìm n thỏa mãn : $a)5^{n}+1\vdots n$

                           $b)5^{n}+1\vdots n^{2}$

                         $c)5^{n}+1\vdots n^{3}$

a) A = $5^{n} + 1$ $\vdots$n

$\Rightarrow$A = $5^{n - 1}.n + 1 \vdots$n

mà $5^{n - 1}.n \vdots$n

$\Rightarrow$1 $\vdots$n

$\Rightarrow$n $\in$ Ư(1) = {1 ; -1}

Vậy n $\in {1 ; -1}$

 

b, c tương tự tách $5^{n} + 1$ thành $5^{n - 2}.n^{2} + 1$ và $5^{n - 3}.n^{3} + 1$

[olympiachapcanhuocmo]

a) A = $5^{n} + 1$ $\vdots$n

$\Rightarrow$A = $5^{n - 1}.n + 1 \vdots$n

mà $5^{n - 1}.n \vdots$n

$\Rightarrow$1 $\vdots$n

$\Rightarrow$n $\in$ Ư(1) = {1 ; -1}

Vậy n $\in {1 ; -1}$

 

b, c tương tự tách $5^{n} + 1$ thành $5^{n - 2}.n^{2} + 1$ và $5^{n - 3}.n^{3} + 1$

Bạn nhầm à ?

[Changg Changg]

Bài (a) Mình nghĩ đáp án là vô số số và không thể tính được. Như $n=2.13^x.53^y$ hay $n=3^x.7^y$

Càng ngày càng nhiều ước nguyên tố lên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 01-08-2015 - 15:22

[olympiachapcanhuocmo]

Bài (a) Mình nghĩ đáp án là vô số số và không thể tính được. Như $n=2.13^x.53^y$ hay $n=3^x.7^y$

Càng ngày càng nhiều ước nguyên tố lên.

Bạn thử chứng minh xem có đúng là vô số nghiệm không ? 

[Changg Changg]

Bạn thử chứng minh xem có đúng là vô số nghiệm không ? 

Ta chứng minh $5^{3^x7^y}+1\vdots 3^x7^y$ với $x$ nguyên dương, $y$ nguyên không âm.

$v_3\left(5^{3^x7^y}+1\right)=x+1>x$ nên $5^{3^x7^y}+1\vdots 3^x$

Do $x$ nguyên dương nên $v_{7}\left(5^{3^{x}3^{y}}+1\right)=v_{7}\left(125^{3^{x-1}7^y}+1\right)=y+1>y$

Do đó $5^{3^{x}7^{y}}+1\vdots 7^y$, tóm lại $5^{3^{x}7^{y}}+1\vdots 3^{x}7^{y}$ với mọi số nguyên dương $x$ và nguyên không âm $y$

[Zaraki]

                          $b)5^{n}+1\vdots n^{2}$                    

Lời giải. Ta sẽ chứng minh tồn tại vô số $n$ thoả mãn.

 

Bước 1: Ta thấy $n=3$ thoả mãn.

Nếu $n>3$, mạnh dạn chọn $n=3n_1 \; (n_1 \in \mathbb{N},n_1 \ge 1)$. Khi đó $n_1^2|5^{3n_1}+1$. Vì $5^3+1=7 \cdot 3^2 \cdot 2$ nên ta chọn $n_1=7n_2$.

 

Bước 2: Hiển nhiên $n_1=7$ thì $n=21$ cũng thoả mãn bài toán.

Nếu $n_1>7$ hay $n_2>1$, khi đó $n_2^2|5^{21n_2}+1$. Chọn $n_2=pn_3$ với $p$ là số nguyên tố khác $2,3,7$ và là ước của $p|5^{3 \cdot 7}+1$ ($p=29$ chẳng hạn).

Khi đó ta suy ra $n=21p$ cũng thoả mãn bài toán.

 

Bước 3: Nếu $n_2>p$ hay $n_2>1$ thì ta tiếp tục quá trình trên. 

 

Như vậy, để chứng minh vô số $n$ thoả mãn đề bài, ta chỉ cần chứng minh luôn tồn tại số nguyên tố $p_k$ sao cho $p_k|A=5^{p_1p_2 \cdots p_{k-1}}+1$, trong đó $p_2|5^{p_1}+1,p_3|5^{p_1 \cdot p_2}+1, \cdots , p_{k-1}|5^{p_1p_2 \cdots p_{k-2}}+1$ và $7<p_1<p_2< \cdots <p_{k-1}<p_k. \qquad (1)$

 

Thật vậy, ta chứng minh $B=5^{p_{k-1}}+1 \mid A$ và $B$ không thể có các ước nguyên tố $p_1, \cdots , p_{k-1}$ hay $p_i \nmid B, \; \forall 1 \le i \le k-1$. Giả sử phản chứng, tồn tại $p_i|B$ với $1 \le i \le k-1$. Theo điều kiện đặt ra, ta có $p_i|5^{p_1p_2 \cdots p_{i-1}}+1$. Do đó, kết hợp với điều kiện $p_i>7, \; \forall 1 \le i \le k$ ta suy ra $\text{ord}_{p_i}(5) >2$. Mặt khác $\text{ord}_{p_i}(5)| 2p_{k-1}, \text{ord}_{p_i}(5)|2p_1p_2 \cdots p_{i-1}$ và $\gcd \left( 2p_{k-1}, 2p_1p_2 \cdots p_{i-1} \right)=2$ nên ta suy ra mâu thuẫn. Vậy $p_i \nmid 5^{p_{k-1}}+1, \; \forall 1 \le i \le k-1$. Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại $p_k>p_{k-1}$ thoả mãn $p_k|B|A$. Như vậy $(1)$ được chứng minh.

 

Như vậy, có vô số số $n$ thoả mãn, chẳng hạn như dãy $3,21,21p_1,21p_1p_2, \cdots, 21p_1p_2 \cdots p_k$ với $p_i \; (1 \le i \le k)$ là các số nguyên tố thoả mãn $(1)$.

 

 

 

$c)5^{n}+1\vdots n^{3}$

Lời giải. Hiển nhiên $n=1$ thoả mãn. Ta chứng minh không tồn tại $n \ge 2$ thoả mãn bài toán.

Vì $5^n \equiv 1 \pmod{4} \; \forall n \in \mathbb{N}$ nên $5^n+1 \equiv 2 \pmod{4}$. Do đó $2 \nmid n$.

Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ nhỏ nhất của $n$. Khi đó $p|5^n+1$ hay $p|5^{2n}-1$. Đặt $\text{ord}_p(5)=k$ thì ta suy ra $k|2n$ và $k|p-1$. 

Nếu $k$ có ước nguyên tố lẻ $r$ thì ta suy ra $r|n$ và $r \le p-1$, điều này mâu thuẫn với điều kiện nhỏ nhất của $p$. Do đó $k$ không có ước nguyên tố lẻ. Vậy $k=2^x, \; (x \in \mathbb{N})$. Mặt khác do $2 \nmid n$ và $k|2n$ nên $k=1$ hoặc $k=2$.

Khi đó $p|5^2-1$. Ta suy ra $p=3$.

Mặt khác, theo bổ đề LTE, ta có $v_3(5^n+1)=v_3(6)+v_3(n)=1+v_3(n) \ge 3v_3(n)$ nên $2v_3(n) \le 1$ suy ra $v_3(n)=0$, mâu thuẫn.

Vậy $n=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 02-08-2015 - 17:10