Chủ đề này có 1 trả lời

[tinvip98]

$x,y>0, x+y<1$

$P=\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y}+\frac{1}{x+y}+x+y$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$

[Nguyen Huy Hoang]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P \geq \frac{(x+y)^2}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y$

 

Đặt $f(t)=\frac{t^2}{2-t}+\frac{1}{t}+t$   (ĐK: $0 \leq t \leq 1$)

 

$=> f'(t)=\frac{3t^2+4t-4}{(2-t)^2t^2}$

 

$f'(t)=0 <=>t=\frac{2}{3}$ hoặc $t=-2$

 

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(0;1)$ suy ra $Min_{P}=\frac{5}{2}$ tại $t=\frac{2}{3}$ hay $x=y=\frac{1}{3}$