Chủ đề này có 2 trả lời

[quan1234]

Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0, $-1\leq x;y;z\leq 1$

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức  $P=x^4+y^6+z^8$

[JayVuTF]

Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0, $-1\leq x;y;z\leq 1$

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức  $P=x^4+y^6+z^8$

Max 

 

Có : $$x^2(1-x^2)\ge 0 \leftrightarrow x^2 \ge x^4$$

$$y^2(1-y^4)\ge 0 \leftrightarrow y^2 \ge y^6$$

$$z^2(1-y^6)\ge 0 \leftrightarrow z^2 \ge z^8$$

$$\rightarrow  P \le x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2- 2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$$

Lại có : $$-1 \le x,y,z \le 1 \rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)+(1+x)(1+y)(1+z)\ge 0$$ 

$$\leftrightarrow 2+2(xy+yz+zx)\ge 0 \leftrightarrow -2(xy+yz+zx) \le 2$$

 

$$\rightarrow P \le 2$$

[hoanglong2k]

 

Max 

 

Có : $$x^2(1-x^2)\ge 0 \leftrightarrow x^2 \ge x^4$$

$$y^2(1-y^4)\ge 0 \leftrightarrow y^2 \ge y^6$$

$$z^2(1-y^6)\ge 0 \leftrightarrow z^2 \ge z^8$$

$$\rightarrow  P \le x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2- 2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$$

Lại có : $$-1 \le x,y,z \le 1 \rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)+(1+x)(1+y)(1+z)\ge 0$$ 

$$\leftrightarrow 2+2(xy+yz+zx)\ge 0 \leftrightarrow -2(xy+yz+zx) \le 2$$

 

$$\rightarrow P \le 2$$

 

 Do $x,y,z\in [-1;1]\Rightarrow x^4+y^6+z^8\leq |x|+|y|+|z|$

 Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất hai số cùng dấu

 Giả sử $xy\geq 0$

 Khi đó : $|x|+|y|+|z|=|x+y|+|z|=2|z|\leq 2$

 Nên $P\leq 2$

 Còn min thì quá đơn giản : $P\geq 0$