Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )\forall x,y\in \mathbb{R}$
$P(x,y)$ có tính chất $f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )$
Giả sử tồn tại hai số phân biệt $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)=0$ Giả sử $a\neq 0$
$P(a,a)\Rightarrow f(a^2)=a^2$
$P(b,a)\Rightarrow f(a^2)=ab\neq a^2$ ( vô lí )
Nên không tồn tại hai số phân biệt $a,b$ mà $f(a)=f(b)=0$
Giả sử tồn tại hai số phân biệt $u,v$ mà $f(u)=f(v)$
$P(-f(u),u)\Rightarrow f(u^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$
$P(-f(u),v)\Rightarrow f(v^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$
$\Rightarrow u=-v$
So sánh giữa $P(x,u)$ và $P(x,v)$ thấy thấy mâu thuẫn khi $x\neq -f(u)$
Nên hàm đơn ánh.
Nhận xét giữa $P(x,y)$ và $P(y,x)$ ta có $f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=f(x^2+2yf(x)+f(y)^2)$
$\Rightarrow y^2+2xf(y)+f(x)^2=x^2+2yf(x)+f(y)^2\Rightarrow (f(x)-y)^2=(f(y)-x)^2$
Từ $P(x,f(x)),P(f(x),x)\Rightarrow f(f(x))=x$
Từ $P(x,f(y)),P(f(x),y)\Rightarrow (f(x)-f(y))^2=(x-y)^2$
$\Rightarrow f(x)=\pm x$
Có thể xét them TH $f(a)=a,f(b)=-b$ thì $P(a,b)\Rightarrow f((a-b)^2)=a^2-b^2\Rightarrow a=b$ mâu thuẫn