Đến nội dung

Hình ảnh

$f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=...$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
quanchun98

quanchun98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )\forall x,y\in \mathbb{R}$

 



#2
Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$P(x,y)$ có tính chất $f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )$

Giả sử tồn tại hai số phân biệt $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)=0$ Giả sử $a\neq 0$

$P(a,a)\Rightarrow f(a^2)=a^2$

$P(b,a)\Rightarrow f(a^2)=ab\neq a^2$ ( vô lí )

Nên không tồn tại hai số phân biệt $a,b$ mà $f(a)=f(b)=0$

Giả sử tồn tại hai số phân biệt $u,v$ mà $f(u)=f(v)$

$P(-f(u),u)\Rightarrow f(u^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$

$P(-f(u),v)\Rightarrow f(v^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$

$\Rightarrow u=-v$

So sánh giữa $P(x,u)$ và $P(x,v)$ thấy thấy mâu thuẫn khi $x\neq -f(u)$

Nên hàm đơn ánh.

Nhận xét giữa $P(x,y)$ và $P(y,x)$ ta có $f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=f(x^2+2yf(x)+f(y)^2)$

$\Rightarrow y^2+2xf(y)+f(x)^2=x^2+2yf(x)+f(y)^2\Rightarrow (f(x)-y)^2=(f(y)-x)^2$

Từ $P(x,f(x)),P(f(x),x)\Rightarrow f(f(x))=x$

Từ $P(x,f(y)),P(f(x),y)\Rightarrow (f(x)-f(y))^2=(x-y)^2$

$\Rightarrow f(x)=\pm x$

Có thể xét them TH $f(a)=a,f(b)=-b$ thì $P(a,b)\Rightarrow f((a-b)^2)=a^2-b^2\Rightarrow a=b$ mâu thuẫn



#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

$P(x,y)$ có tính chất $f\left ( y^{2}+2xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )^{2} \right )=\left ( y+f\left ( x \right ) \right )\left ( x+f\left ( y \right ) \right )$

Giả sử tồn tại hai số phân biệt $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)=0$ Giả sử $a\neq 0$

$P(a,a)\Rightarrow f(a^2)=a^2$

$P(b,a)\Rightarrow f(a^2)=ab\neq a^2$ ( vô lí )

Nên không tồn tại hai số phân biệt $a,b$ mà $f(a)=f(b)=0$

Giả sử tồn tại hai số phân biệt $u,v$ mà $f(u)=f(v)$

$P(-f(u),u)\Rightarrow f(u^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$

$P(-f(u),v)\Rightarrow f(v^2-2f(u)^2+f(-f(u))^2)=0$

$\Rightarrow u=-v$

So sánh giữa $P(x,u)$ và $P(x,v)$ thấy thấy mâu thuẫn khi $x\neq -f(u)$

Nên hàm đơn ánh.

Nhận xét giữa $P(x,y)$ và $P(y,x)$ ta có $f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=f(x^2+2yf(x)+f(y)^2)$

$\Rightarrow y^2+2xf(y)+f(x)^2=x^2+2yf(x)+f(y)^2\Rightarrow (f(x)-y)^2=(f(y)-x)^2$

Từ $P(x,f(x)),P(f(x),x)\Rightarrow f(f(x))=x$

Từ $P(x,f(y)),P(f(x),y)\Rightarrow (f(x)-f(y))^2=(x-y)^2$

$\Rightarrow f(x)=\pm x$

Có thể xét them TH $f(a)=a,f(b)=-b$ thì $P(a,b)\Rightarrow f((a-b)^2)=a^2-b^2\Rightarrow a=b$ mâu thuẫn.

Bài toán có tất cả ba nghiệm hàm, ngoài hai nghiệm bạn kể trên còn nghiệm $f(x)=\dfrac{1}{2}-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Lời giải của mình :

 

pth1.JPG

pth2.JPG

pth3.JPG

pth4.JPG

pth5.JPG


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh