Chủ đề này có 1 trả lời

[quanchun98]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: 

$xf\left ( xy \right )+xyf\left ( x \right )\geq f\left ( x^{2} \right )f\left ( y \right )+x^{2}y\forall x,y\in \mathbb{R}$

[cachuoi]

Cho x=y=1 có f(1)=1
Cho y=1 thì có 2x.f(x)>=x^2+f(x^2) (1)
Cho x=y=0 có f(0)=0 ta xét x khác 0 ,
Cho y=x ta có x.f(x^2)+x^2.f(x) >=f(x).f(x^2) +x^3 suy ra x^2.(f(x)-x)>=f(x^2)(f(x)-x) (2)
Nếu tồn tại x để f(x^2)<0 thì từ (2 )suy ra f(x)>=x với mọi x
Nếu tồn tại x để f(x)>x thì từ (2) ta cũng có ngay f(x^2)<x^2 vô lí suy ra f(x)=x nên f(x^2)=x^2 vô lý do ta gs tồn tại f(x^2)<0
Vậy f(x^2)>=0 với mọi x nên từ 1 ta có f(x) >=x/2 với mọi x >0 suy ra f(x^2)>=x^2/2 suy ra 2xf(x)>=(3/2 ).x^2 từ đây lại có f(x) >=3/4 x với mọi x cứ làm tương tự (thực ra xét dãy số ) thì có ngay f(x)>=x với mọi x >0
Bây giờ trong(2) gs tồn tại x để f(x) >x thì suy ra f(x^2)<x^2 vô lý vậy f(x)=x với mọi x >0
Tương tự với x<0 ta có ngay f(x)<=x từ (1)
Sau đó làm tương tự như trên cũng có ngay f(x)=x với mọi x<0
Kết luận f(x)=x với mọi x thuộc R