Chủ đề này có 13 trả lời

[tieubangngoc]

1.cho $\begin{cases} &ax+by=3 &ax^{2}+by^{2}=5 &ax^{3}+by^{3}=9 &ax^{4}+by^{4}=17 \end{cases}$

2.tính A= ax⁵  +by⁵  , B=ax²⁰¹¹ +by²⁰¹¹

Tính giá trị của A= $x^{2}+\sqrt{x^{4}+x+1}$ với x=$\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

Cuối cùng là 1 bài toán về chia hết 

3. Cho $\frac{m}{n}= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1329}-\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}$

CMR m chia hết cho 1997     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieubangngoc: 26-07-2015 - 19:47

[tranductucr1]

$\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +..+\frac{1}{1331}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{1331}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{665})$

->$\frac{m}{n}=\frac{1}{666}+\frac{1}{667}+...+\frac{1}{1331}$=$(\frac{1}{1331}+\frac{1}{666})+...+(\frac{1}{999}+\frac{1}{998})$=$1997*\frac{X}{Y}$ với $\frac{X}{Y}=\frac{1}{666*1331}+...+\frac{1}{999*998}$

=> $\frac{m}{n}=1997*\frac{X}{Y}$
=> mY=nX*1997 mà  (Y,1997)=1

=> m chia hết cho 1997 (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 26-07-2015 - 08:14

[phamhuy1801]

Bài 2 đề sai không. Chắc phải là:

 

Tính $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$   với  $x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac{1}{8}}-\dfrac{1}{8}\sqrt{2}$

 

$x=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{8\sqrt{2}+1}-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$=$\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\left (\sqrt{8\sqrt{2}+1}-1\right )$ 

 

Nhân liên hợp $\rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{8\sqrt{2}+1}+1} \rightarrow x>0$

 

$\rightarrow (A-x^2)^2=x^4+x+1, x>0$

 

Biến đổi ... $\rightarrow x=\dfrac{1}{4A}\left (\sqrt{1+8A}-1\right )$

 

So với    $\rightarrow A=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 26-07-2015 - 08:58

[phamhuy1801]

Bài 2:  Theo hướng làm khác:

 

Ta có: $x=\frac{1}{2}.\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

$\leftrightarrow (8x+\sqrt{2})^2=16(\sqrt{2}+\frac{1}{8})$

$\leftrightarrow 64x^2+16x\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2$

$\leftrightarrow 4x^2+\sqrt{2x}-2=0$

$\leftrightarrow x^2=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

$\leftrightarrow x^4=\frac{x^2-2x+1}{8}$

 

Thay vào $A=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}+\sqrt{\frac{x^2-2x+1}{8}+x+1}=\frac{\sqrt{2}(1-a)}{4}+\sqrt{\frac{(x+3)^2}{8}}=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 26-07-2015 - 09:13

[tranductucr1]

vì x,y có vai trò như nhau ta có thể giả sử $x\geq y$
ta có $ (ax^{2}+by^{2})(x+y)= ax^{3}+by^{3}+xy(ax+by)$ => $5(x+y)=9+3xy$ (2) 
$(ax^{3}+by^{3})(x+y)=ax^{4}+by^{4}+xy(ax^{2}+by^{2})=>$9(x+y)=17+5xy$(1)

giải (1) và (2) ta được $(x+y)=3$ và $xy=2$=>$ x=2$ ,$y=1$

từ đây giải được a=1 , b=1 
=> $ax^{5}+bx^{5}=$ ..... 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 26-07-2015 - 09:16

[tieubangngoc]

 

Bài 2 đề sai không. Chắc phải là:

 

Tính $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$   với  $x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac{1}{8}}-\dfrac{1}{8}\sqrt{2}$

 

$x=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{8\sqrt{2}+1}-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$=$\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\left (\sqrt{8\sqrt{2}+1}-1\right )$ 

 

Nhân liên hợp $\rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{8\sqrt{2}+1}+1} \rightarrow x>0$

 

$\rightarrow (A-x^2)^2=x^4+x+1, x>0$

 

Biến đổi ... $\rightarrow x=\dfrac{1}{4A}\left (\sqrt{1+8A}-1\right )$

 

So với    $\rightarrow A=\sqrt{

 

Bài 2:  Theo hướng làm khác:

 

Ta có: $x=\frac{1}{2}.\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

$\leftrightarrow (8x+\sqrt{2})^2=16(\sqrt{2}+\frac{1}{8})$

$\leftrightarrow 64x^2+16x\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2$

$\leftrightarrow 4x^2+\sqrt{2x}-2=0$

$\leftrightarrow x^2=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

$\leftrightarrow x^4=\frac{x^2-2x+1}{8}$

 

Thay vào $A=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}+\sqrt{\frac{x^2-2x+1}{8}+x+1}=\frac{\sqrt{2}(1-a)}{4}+\sqrt{\frac{(x+3)^2}{8}}=\sqrt{2}$

cũng có thể sai , vì thầyy mik chép tay, mik cũng phân vân vì số 5 và số 8 nhìn y như nhau 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieubangngoc: 26-07-2015 - 15:53

[tieubangngoc]

$\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +..+\frac{1}{1331}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{1331}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{665})$

->$\frac{m}{n}=\frac{1}{666}+\frac{1}{667}+...+\frac{1}{1331}$=$(\frac{1}{1331}+\frac{1}{666})+...+(\frac{1}{999}+\frac{1}{998})$=$1997*\frac{X}{Y}$ với $\frac{X}{Y}=\frac{1}{666*1331}+...+\frac{1}{999*998}$

=> $\frac{m}{n}=1997*\frac{X}{Y}$
=> mY=nX*1997 mà  (Y,1997)=1

=> m chia hết cho 1997 (dpcm)

có thể làm hộ mik luôn bài này đc ko 

CMR nếu  $a^{3}+b^{3}+c^{3}\vdots 9$  thì abc chia hết cho 9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieubangngoc: 26-07-2015 - 15:58

[tranductucr1]

có thể làm hộ mik luôn bài này đc ko 

CMR nếu  $a^{3}+b^{3}+c^{3}\vdots 9$  thì abc chia hết cho 9

sai nhé nếu $7^{3}+8^{3}+3^{3} \vdots 9 $ nhưng $7*8*3$ không chia hết cho 9
Nhưng có thể chứng minh abc chia hết cho 3 !!!! 
trước hết ta chứng minh một bổ đề  gọi a=3x+r ta có $a^{3}\equiv r^{3} (mod 9)$ 
ta có $a^{3}=(3x+r)^{3}=27x^{3}+27rx^{2}+9xr^{2}+r^{3}\equiv r^{3}(mod 9)$
=> bổ đề  chứng minh 
giả sử trong các số a,b,c không tồn tại các số chia hết cho 3 

đặt $a=3a_1+r_1$, $b=3b_1+m_2$ , $c=3c_1+p_1$ với $r_1,m_1,p_1 \in (1,2) $

áp dụng bổ đề ta có $ a^{3}+ b^{3}+c^{3} \equiv r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3}$ 
ta có $r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3} $ chia cho 9 chỉ có thể dư 6,3,1,8
=>  vô lý => giả thiết phản chứng sai => dpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 26-07-2015 - 20:31

[tieubangngoc]

sai nhé nếu $7^{3}+8^{3}+3^{3} \vdots 9 $ nhưng $7*8*3$ không chia hết cho 9
Nhưng có thể chứng minh abc chia hết cho 3 !!!! 
trước hết ta chứng minh một bổ đề  gọi a=3x+r ta có $a^{3}\equiv r^{3} (mod 9)$ 
ta có $a^{3}=(3x+r)^{3}=27x^{3}+27rx^{2}+9xr^{2}+r^{3}\equiv r^{3}(mod 9)$
=> bổ đề  chứng minh 
giả sử trong các số a,b,c không tồn tại các số chia hết cho 3 

đặt $a=3a_1+r_1$, $b=3b_1+m_2$ , $c=3c_1+p_1$ với $r_1,m_1,p_1 \in (1,2) $

áp dụng bổ đề ta có $ a^{3}+ b^{3}+c^{3} \equiv r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3}$ 
ta có $r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3} $ chia cho 9 chỉ có thể dư 6,3,1,8
=>  vô lý => giả thiết phản chứng sai => dpcm 

mik chứng minh đc rồi, nó sai đó chắc tại thầy tự gia nên sai , lúc mik cm cũng ko đc 

[tieubangngoc]

vì x,y có vai trò như nhau ta có thể giả sử $x\geq y$
ta có $ (ax^{2}+by^{2})(x+y)= ax^{3}+by^{3}+xy(ax+by)$ => $5(x+y)=9+3xy$ (2) 
$(ax^{3}+by^{3})(x+y)=ax^{4}+by^{4}+xy(ax^{2}+by^{2})=>$9(x+y)=17+5xy$(1)

giải (1) và (2) ta được $(x+y)=3$ và $xy=2$=>$ x=2$ ,$y=1$

từ đây giải được a=1 , b=1 
=> $ax^{5}+bx^{5}=$ ..... 

mik muốn hỏi 1 chút là ta có xy + 4 = 2(x+y) => xy=2 và x+y=3 ( vì sao lại suy luôn đc như thế )

[tranductucr1]

vì  $xy+4=2(x+y)$
<=> $(x-2)(y-2)=0$
=>  một trong hai xy phải = 2

[tieubangngoc]

vì  $xy+4=2(x+y)$
<=> $(x-2)(y-2)=0$
=>  một trong hai xy phải = 2

hôm nay mik về nháp lại đúng như bạn nói x=2, y=1 nên mik định ko hỏi nữa 

[marcoreus101]

1.cho $\begin{cases} &ax+by=3 &ax^{2}+by^{2}=5 &ax^{3}+by^{3}=9 &ax^{4}+by^{4}=17 \end{cases}$

2.tính A= ax⁵  +by⁵  , B=ax²⁰¹¹ +by²⁰¹¹

Tính giá trị của A= $x^{2}+\sqrt{x^{4}+x+1}$ với x=$\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

Cuối cùng là 1 bài toán về chia hết 

3. Cho $\frac{m}{n}= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1329}-\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}$

CMR m chia hết cho 1997     

Bài 1 làm thế này nhé Nguyên

Gọi $\begin{Bmatrix} &ax+by=3(1) & \\ &ax^2+by^2=5(2) & \\ &ax^3+by^3=9(3) & \\ &ax^4+by^4=17(4) & \end{Bmatrix}$

Nhân $(2)$ với $x+y$ ta có $(x+y)(ax^2+by^2)=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+ax^2y+bxy^2=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+xy(ax+by=5(x+y)$

Từ 1 và 3 có $9+3xy=5(x+y)$

Nhân $(3)$ với $x+y$ ta có $ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=9(x+y)$

Từ 2 và 4 có $17+5xy=9(x+y)$

Nên $x,y$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{Bmatrix} &9+3xy=5(x+y) & \\ &17+5xy=9(x+y) & \end{matrix} \Leftrightarrow (x,y)=(2,1),(1,2)$

Với $x=1,y=2$ thì $\left\{\begin{matrix} &a+2b=3 & \\ &a+4b=5 & \\ &a+8b=9 & \\ &a+16b=17 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & ax^5+by^5=33 & \\ & ax^{2001}+by^{2001}=1+2^{2001} & \end{matrix}\right.$

Trường hợp với $x=2,y=1$ cũng cho $a=b=1$

[tieubangngoc]

Bài 1 làm thế này nhé Nguyên

Gọi $\begin{Bmatrix} &ax+by=3(1) & \\ &ax^2+by^2=5(2) & \\ &ax^3+by^3=9(3) & \\ &ax^4+by^4=17(4) & \end{Bmatrix}$

Nhân $(2)$ với $x+y$ ta có $(x+y)(ax^2+by^2)=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+ax^2y+bxy^2=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+xy(ax+by=5(x+y)$

Từ 1 và 3 có $9+3xy=5(x+y)$

Nhân $(3)$ với $x+y$ ta có $ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=9(x+y)$

Từ 2 và 4 có $17+5xy=9(x+y)$

Nên $x,y$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{Bmatrix} &9+3xy=5(x+y) & \\ &17+5xy=9(x+y) & \end{matrix} \Leftrightarrow (x,y)=(2,1),(1,2)$

Với $x=1,y=2$ thì $\left\{\begin{matrix} &a+2b=3 & \\ &a+4b=5 & \\ &a+8b=9 & \\ &a+16b=17 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & ax^5+by^5=33 & \\ & ax^{2001}+by^{2001}=1+2^{2001} & \end{matrix}\right.$

Trường hợp với $x=2,y=1$ cũng cho $a=b=1$

Đừng dùng tên của tao , kể cả trên diễn đàn    ôi cái tên tao ghét nhất , sau gọi là ngọc nha