Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC,YCA,ZAB$. Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm
Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC,YCA,ZAB$. Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm
#1
Đã gửi 26-07-2015 - 12:57
#2
Đã gửi 26-07-2015 - 15:33
ta chứng minh bổ đề quen thuộc: $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$
gọi G,G' là trọng tâm $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$
$3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}$
$=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
bổ đề đc cm.
trở lại bài toán, $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{0}$
gọi $\overrightarrow{e_{a}};\overrightarrow{e_{b}};\overrightarrow{e_{c}} là các vectow đơn vị hướng ra ngoài $\Delta ABC$ và vuông góc với BC,CA, AB.
Hạ $XH\perp BC;YK\perp CA;ZL\perp AB$
Ta có: $\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=\alpha$
$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=\beta$
suy ra: $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}$
$=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LZ}$
$=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})$
$=\alpha.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+ \beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$= \beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$\overrightarrow{0}$ (ĐỊNH LÍ CON NHÍM)
Suy ra đpcm.
#3
Đã gửi 26-07-2015 - 19:38
ta chứng minh bổ đề quen thuộc: $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$
gọi G,G' là trọng tâm $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$
$3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}$
$=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
bổ đề đc cm.
trở lại bài toán, $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{0}$
gọi $\overrightarrow{e_{a}};\overrightarrow{e_{b}};\overrightarrow{e_{c}} là các vectow đơn vị hướng ra ngoài $\Delta ABC$ và vuông góc với BC,CA, AB.
Hạ $XH\perp BC;YK\perp CA;ZL\perp AB$
Ta có: $\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=\alpha$
$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=\beta$
suy ra: $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}$
$=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LZ}$
$=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})$$+(\overrightarrow{HX}$$+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})$
$=$$\alpha.(\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+ $$\beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}$$+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$= \beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$\overrightarrow{0}$ (ĐỊNH LÍ CON NHÍM)
Suy ra đpcm.
Cho mình hỏi tại sao $\overrightarrow{HX}=\beta.BC.\overrightarrow{e_{a}}$ vậy
#4
Đã gửi 26-07-2015 - 19:53
Cho mình hỏi tại sao $\overrightarrow{HX}=\beta.BC.\overrightarrow{e_{a}}$ vậy
ak, thì $\overrightarrow{HX}=HX.\overrightarrow{e_{a}}=\beta .BC.\overrightarrow{e_{a}}$
- eminemdech yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh