Đến nội dung

Hình ảnh

$$\cot{ADB} + \cot{BEC} + \cot{CFA} =0$$

- - - - - công thức lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Binzthepoet

Binzthepoet

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$ . Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $O$ lên $BC,CA,AB$ .Chứng minh rằng $$\cot{ADB} + \cot{BEC} + \cot{CFA} =0$$

_________________

Nhớ kẹp "$$" vào đầu cuối công thức


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 26-07-2015 - 14:02


#2
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

VH.png

Theo Carnot (Tự lên Google nhé): $$\left(BD^2 - CD^2\right) + \left(CE^2 - AE^2\right) + \left(AF^2 - BF^2\right) = 0\qquad {\color{Red} {(1)}}$$

Đặt $G, H, I$ theo thứ tự là trung điểm $BC, CA, AB$

Ta có: $\overline{BG}=-\overline{CG}\Rightarrow \overline{BG}+\overline{CG}=0\\\left\{\begin{matrix} \overline{BD}=\overline{BG}+\overline{GD} \\\overline{CD}=\overline{CG}+\overline{GD}  \end{matrix}\right.\\\Rightarrow \overline{BD}+\overline{CD}=2\overline{GD}\\\Rightarrow BD^2 - CD^2=\left ( \overline{BD}-\overline{CD} \right )\left ( \overline{BD}+\overline{CD} \right )=2\cdot\overline{GD}\cdot \overline{BC}$

Tương tự: $CE^2 - AE^2=2\cdot\overline{HE}\cdot \overline{CA}$ và $AF^2 - BF^2=2\cdot\overline{IF}\cdot \overline{AB}$

Thay vào ${\color{Red} {(1)}}$ ta được:

$$\overline{GD}\cdot \overline{BC}+\overline{HE}\cdot \overline{CA}+\overline{IF}\cdot \overline{AB}=0 \qquad{\color{Red} {(2)}}$$

Gọi $N$ là trực tâm $\triangle ABC$, $K, L, M$ theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ $N$ đến $BC, CA, AB$.

Thay $N, K, L, M$ lần lượt vào $O, D, E, F$ ta được:

$\overline{GK}\cdot \overline{BC}+\overline{HL}\cdot \overline{CA}+\overline{IM}\cdot \overline{AB}=0$

Trừ cho ${\color{Red} {(2)}}$ ta được: $$\overline{DK}\cdot \overline{BC}+\overline{EL}\cdot \overline{CA}+\overline{FM}\cdot \overline{AB}=0 \qquad{\color{Red} {(3)}}$$

Gọi $\Delta$ là diện tích $\triangle ABC$, ta có:

$\Delta=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AK}\cdot \overline{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BL}\cdot \overline{CA}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CM}\cdot \overline{AB}$

Rút $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ và thay vào ${\color{Red} {(3)}}$ ta được:

$\dfrac{\overline{DK}}{\overline{AK}}+\dfrac{\overline{EL}}{\overline{BL}}+\dfrac{\overline{FM}}{\overline{CM}}=0\Rightarrow \frac{DK}{AK}+\frac{EL}{BL}-\frac{FM}{CM}=0\\\Leftrightarrow \cot{ADB} + \cot{BEC} + \cot{CFA} =0$

Vậy bài toán đã được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-08-2015 - 23:54






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: công thức lượng giác

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh