Chủ đề này có 2 trả lời

[QuynhBiebs2001]

CMR nếu $x+ \frac{1}{x}$ thuộc Z thì $x^n + \frac{1}{x^n}$ thuộc Z với mọi số tự nhiên n

[LeHKhai]

CMR nếu $x+ \frac{1}{x}$ thuộc Z thì $x^n + \frac{1}{x^n}$ thuộc Z với mọi số tự nhiên n

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Đặt $S_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ với $n\in\mathbb{N}$.

Ta có $S_0=2$ và $S_1 \in \mathbb{Z}$.

Giả sử đã chứng minh được $S_k \in \mathbb{Z}$ với $k=0$,$1$, $...$, $n$.

Ta có $S_1.S_n=\left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x^n+\frac{1}{x^n} \right )=\left ( x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \right )+\left ( x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}} \right )=S_{n+1}+S_{n-1}$.

Suy ra $S_{n+1}=S_1.S_n-S_{n-1}$, từ đó $S_{n+1}\in\mathbb{Z}$.

Theo nguyên lí quy nạp thì $S_n\in\mathbb{Z}$, $\forall n\in\mathbb{N}$.

[Silverbullet069]

CMR nếu $x+ \frac{1}{x}$ thuộc Z thì $x^n + \frac{1}{x^n}$ thuộc Z với mọi số tự nhiên n

$x + \frac{1}{x} \in Z$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} \in Z $

$\Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} \in Z $

$\Rightarrow x^{2} + 1 \vdots x $

$\Rightarrow 1 \vdots x $

$\Rightarrow x \in {1 ; -1}$

$\Rightarrow \frac{1}{x} \in Z$

$\Rightarrow x \in Z$

Ta có : $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} \in Z& & \\ x \in Z& & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng  $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^{n}} \in Z& & \\ x^{n} \in Z& & (n \in N)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^n + \frac{1}{x^n} \in Z  $với mọi $n \in N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 26-07-2015 - 18:29