Đến nội dung

Hình ảnh

Hom$_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n,\mathbb{Z/m})\cong Z/(n,m)$

modules

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Có bài tập này mình không làm được: chứng minh Hom$_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n,\mathbb{Z/m})\cong Z/(n,m)$. Mình biết rằng nếu A là một $\mathbb{Z}$-module thì Hom$_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n,A) \cong A_n=\{a\in A|na=0\}$. Mình định chứng minh $\mathbb{Z}/m_{n}\cong Z/(n,m)$ bằng cách chỉ ra $x+m\mathbb{Z} \mapsto x+(n,m)\mathbb{Z}$. Nó là một đồng cấu nhưng có vẻ không phải một đơn cấu?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 26-07-2015 - 20:10


#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Phần tử của $Hom(Z/nZ, Z/mZ)$ được xác định bởi ảnh của $1+nZ$. Bây giờ ta nghĩ xem ảnh của $1+nZ$ bên trong $Z/mZ$ có thể là những phần tử nào. Gọi $f \in Hom(Z/nZ, Z/mZ)$, và $f(1+nZ)= x+mZ$ với $x \in \{0,1,\dots, m-1\}$. Ta thấy $nf(1+nZ)=f(0)=0$, nên $n$ phải chia hết cho order của $x+mZ$. Trong $Z/mZ,$ phần tử có order mà $n$ chia hết cho là 1 nhóm con cyclic sinh ra bởi $m/(m,n).$  Bây giờ ta có thể kiểm tra mỗi phần tử của nhóm con đó cho 1 phần tử của $Hom(Z/nZ,Z/mZ)$, và $f \circ g$ sẽ cho homomorphism được định nghĩa bởi $xy +mZ$. Như vậy $Hom(Z/nZ,Z/mZ)$ là 1 nhóm cyclic với order $(m,n)$, nên nó phải là $Z/(m,n).$


  • Nxb yêu thích




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh