Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^4+2y^4+3z^4$

Spoiler

Rảnh quá post một bài cân bằng hệ số   

[anhtukhon1]

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^4+2y^4+3z^4$

Spoiler

Rảnh quá post một bài cân bằng hệ số   

Em không biết có phải thế này không nhưng làm bừa

Ta có $(x^{4}+2y^{4}+3z^{4})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.$

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(1+1+1)\geq (x+y+z)^{2}=9. \Rightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 3\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 9$

Suy ra $x^{4}+2y^{4}+3z^{4}\geq \frac{54}{11}$

Dấu = xảy ra( tự tính

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^4+2y^4+3z^4$

Spoiler

Rảnh quá post một bài cân bằng hệ số   

Với ba số dương $a,b,c$ tùy ý đã cho,áp dụng bất đẳng thức $Holder$ cho 4 bộ 3 số dương $(a^4;2b^4;3c^4);(a^4;2b^4;3c^4);(a^4;2b^4;3c^4);(x^4;2y^4;3z^4)$,ta có:

$(a^4+2b^4+3c^4)^3.(x^4+2y^4+3z^4)\geq (a^3x+2b^3y+3c^3z)^4\Leftrightarrow f\geq \frac{(a^3x+2b^3y+3c^3z)^4}{(a^4+2b^4+3c^4)^3}$

Để sử dụng giả thiết $x+y+z=3$,ta chọn $a,b,c$ sao cho:$a^3=2b^3=3c^3\Leftrightarrow b=\frac{a}{\sqrt[3]{2}},c=\frac{a}{\sqrt[3]{3}}$

Với cách chọn này,ta có:$f\geq \frac{a^{12}(x+y+z)^4}{(a^4+2b^4+3c^4)^3}=\frac{(3a^3)^4}{\left ( a^4+2\frac{a^4}{\sqrt[3]{2^4}}+3\frac{a^4}{\sqrt[3]{3^4}} \right )^3}=\frac{3^4}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right )^3}$

Điều kiện xảy ra đẳng thức là $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ nếu chọn $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện bổ sung $a+b+c=3$ điều kiện này cũng có nghĩa là:$a+\frac{a}{\sqrt[3]{2}}+\frac{a}{\sqrt[3]{3}}=3\Leftrightarrow a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$ thì $f=\frac{3^4}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right )^3}$ khi và chỉ khi

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \\ y=b=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \\ z=c=\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} & & & \end{matrix}\right.$

[lethanhson2703]

Theo BDDT Holder ta có $(x^4+2y^4+3z^4)(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}})(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}})(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}) \ge (x+y+z)^4$ $= 81$

$\Leftrightarrow x^4+2y^4+3z^4 \ge \frac{81}{(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^3}$

[tranductucr1]

rãnh thiệt  =))))))))) 
gọi x=a,y=b,z=c ;à các giá trị của a,b,c để biểu thức đạt cực trị 

ta có $x^{4}+3a^{4} \geq 4a^{3}x$ 
      $2y^{4}+6b^{4} \geq 8b^{3}y$
     $3z^{3}+9c^{4} \geq  12c^{3}z$ 
vậy ta cần chọn a,b,c sao cho $a=\sqrt[3]{2}b=\sqrt[3]{3}c$ và $a+b+c=3$ 

        =>  $a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}$

tương tự $b=\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{2}}$ và  $c=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}$

giờ chỉ việc thay vào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 27-07-2015 - 11:20