Chủ đề này có 2 trả lời

[Bonjour]

Problem:  Taiwan-Round2-G6 

        Cho $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ .Giả sử các đường thẳng $AP,BP,CP$ cắt $(ABC)$ tại $T,S,R$ .Điểm $U$ nằm trên $PT$ .Đường thẳng qua $U$ song song $AB$ cắt $CR$ tại $W$ ,đường thẳng qua $U$ song song $AC$ cắt $BS$ tại $V$.Đường thẳng qua $B$ song song $CP$ cắt đường thẳng qua $C$ song song $BP$ tại $Q$.Giả sử  $RS$ song song $WV$.Chứng minh rằng: $\widehat{CAP}=\widehat{BAQ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 28-07-2015 - 00:24

[Changg Changg]

Giả sử $BP$ cắt $AC$ tại $S'$, $CP$ cắt $AB$ tại $R'$

Chọn $U\equiv A$ ta được $R'S'\| RS$ nên $R'S'CB$ là tứ giác nội tiếp.

Đến đây là bài toán cơ bản rồi.

[huypham2811]

Gọi d là tiếp tuyến của (ABC) tại A

gọi $E=BS\cap AC$ và $F=CR\cap AB$

 

áp dụng định lí Pascal cho 6 điểm A,B,C,R,S,A ta đc: d,RS,EF đồng quy hoặc $d\parallel RS\parallel EF$

 

từ đó ta suy ra  $d\parallel EF$ hay $OA\perp EF$ suy ra E,F,B,C đồng viên

 

từ đó bài toán trở nên gọn hơn: E,F thuộc AC,AB sao cho E,F,B,C đồng viên, $P=BE\cap CF$, Q đối xứng P qua trung điểm BC

 

ta cần cm AP,AQ đẳng giác góc BAC

 

dễ có $\Delta PEF$ đồng dạng $\Delta QBC$ và $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC$

 

nên ta sẽ có: $\frac{PE}{BQ}=\frac{EF}{BC}$ và  $\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$ suy ra $\frac{PE}{BQ}=\frac{AE}{AB}$

 

đồng thời $\widehat{AEP}=\widehat{AFC}=\widehat{ABQ}$

 

Suy ra $\Delta APE$ đồng dạng $\Delta AQB$

 

từ đó ta có đpcm.