Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left \| Taiwan-Round2-#6 \right \|$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 28-07-2015 - 00:22

Problem:  Taiwan-Round2-G6 

        Cho $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ .Giả sử các đường thẳng $AP,BP,CP$ cắt $(ABC)$ tại $T,S,R$ .Điểm $U$ nằm trên $PT$ .Đường thẳng qua $U$ song song $AB$ cắt $CR$ tại $W$ ,đường thẳng qua $U$ song song $AC$ cắt $BS$ tại $V$.Đường thẳng qua $B$ song song $CP$ cắt đường thẳng qua $C$ song song $BP$ tại $Q$.Giả sử  $RS$ song song $WV$.Chứng minh rằng: $\widehat{CAP}=\widehat{BAQ}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 28-07-2015 - 00:24

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#2 Changg Changg

Changg Changg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-07-2015 - 10:16

Giả sử $BP$ cắt $AC$ tại $S'$, $CP$ cắt $AB$ tại $R'$

Chọn $U\equiv A$ ta được $R'S'\| RS$ nên $R'S'CB$ là tứ giác nội tiếp.

Đến đây là bài toán cơ bản rồi.



#3 huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The state of fun
  • Sở thích:—ナルト— Naruto Shippuden

Đã gửi 03-08-2015 - 18:15

Gọi d là tiếp tuyến của (ABC) tại A

gọi $E=BS\cap AC$ và $F=CR\cap AB$

 

áp dụng định lí Pascal cho 6 điểm A,B,C,R,S,A ta đc: d,RS,EF đồng quy hoặc $d\parallel RS\parallel EF$

 

từ đó ta suy ra  $d\parallel EF$ hay $OA\perp EF$ suy ra E,F,B,C đồng viên

 

từ đó bài toán trở nên gọn hơn: E,F thuộc AC,AB sao cho E,F,B,C đồng viên, $P=BE\cap CF$, Q đối xứng P qua trung điểm BC

 

ta cần cm AP,AQ đẳng giác góc BAC

 

dễ có $\Delta PEF$ đồng dạng $\Delta QBC$ và $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC$

 

nên ta sẽ có: $\frac{PE}{BQ}=\frac{EF}{BC}$ và  $\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$ suy ra $\frac{PE}{BQ}=\frac{AE}{AB}$

 

đồng thời $\widehat{AEP}=\widehat{AFC}=\widehat{ABQ}$

 

Suy ra $\Delta APE$ đồng dạng $\Delta AQB$

 

từ đó ta có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh