Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$

Chứng minh rằng: $cosB+cosC=1$

[Nguyen Minh Hai]

Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$

Chứng minh rằng: $cosB+cosC=1$

Ta có:          $sin2B+sin2C=2.sin(B+C).cos(B-C)$

                                        $=4.sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B+C}{2}.cos(B-C)$

                    $sin2A=2.sinA.cosA$

                    $sinB+sinC=2.sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}$

Do đó     $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{B+C}{2}.cos(B-C)=cosA.cos\frac{B-C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{B+C}{2}\left ( cos^2\frac{B-C}{2}-sin^2\frac{B-C}{2} \right )=-\left ( cos^2\frac{B+C}{2}-sin^2\frac{B+C}{2} \right ).cos\frac{B-C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}\left ( cos\frac{B+C}{2}+cos\frac{B-C}{2} \right )=sin^2\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}+sin^2\frac{B-C}{2}.cos\frac{B+C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}\left ( cos\frac{B+C}{2}+cos\frac{B-C}{2} \right )=\left ( 1-cos^2\frac{B+C}{2} \right ).cos\frac{B-C}{2}+\left ( 1-cos^2\frac{B-C}{2} \right ).cos\frac{B+C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}\left ( cos\frac{B+C}{2}+cos\frac{B-C}{2} \right )=cos\frac{B+C}{2}+cos\frac{B-C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cosB+cosC=1$