Chủ đề này có 1 trả lời

[Changg Changg]

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng nếu $n$ có trên $1$ ước số thì tồn tại số nguyên $0<k<n-1$ sao cho $2n\mid k(k+1)$

Điều ngược lại có đúng hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 30-07-2015 - 18:49

[ZzNightWalkerZz]

Đề bài chưa đúng cho lắm, phải là $n$ có trên 1 ước số nguyên tố mới đúng

$\boxed{\text{Chiều thuận}}$

Do $n$ có trên 1 ước số nguyên tố nên luôn phân tích $n$ thành tích $p.q$ với $(p,q)=1$

Do $(k,k+1)=1$ nên ta phải chứng minh tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn hai điều kiện

$$k=pk_1;k+1=qk_2$$

Giả sử trong dãy số : $q,2q,3q...(p-1)q$ có 2 số có cùng số dư khi chia cho $p$. Giả sử hai số đó là $m_1q, m_2q$ ($1\leq m_1<m_2\leq p-1$)

$=>(m_2-m_1)q\vdots p$ (Vô lí do $(p,q)=1, m_2-m_1<p$)

Vậy trong $p-1$ số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho $p$ nên tồn tại ít nhất một số chia cho $p$ dư 1, ta đã chứng minh được tồn tại số nguyên tố $k$ thỏa mãn.

$\boxed{\text{Chiều nghịch}}$

Giả sử $n$ chỉ có một ước số nguyên tố, khi đó $n$ có dạng $n=p^x$ với $p$ là một số nguyên tố

Do $(k,k+1)=1$ nên chỉ có một số chia hết cho $n$ nên $k\geq n$ hoặc $k+1\geq n$ (Vô lí)

Vậy $n$ có trên 1 ước số nguyên tố