Cho $p$ là số nguyên tố, $p>3$ và $n= \frac{2^{2p}-1}{3}$.Chứng minh rằng $2^n-2$ $\vdots$ $n$
Cho $p$ là số nguyên tố, $p>3$ và $n= \frac{2^{2p}-1}{3}$.Chứng minh rằng $2^n-2$ $\vdots$ $n$
#1
Đã gửi 30-07-2015 - 17:48
#2
Đã gửi 30-07-2015 - 18:10
$\texttt{Solution}$
$\blacklozenge$ Chứng minh
Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$
Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$
Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$
Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$
Do đó $n-1\vdots 2p$
Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$
Mà theo cách chọn $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$
tức là $2^n-2\vdots n$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 30-07-2015 - 18:16
- Truong Gia Bao và the man thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#3
Đã gửi 30-07-2015 - 18:26
$\texttt{Solution}$
$\blacklozenge$ Chứng minh
Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$
Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$
Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$
Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$
Do đó $n-1\vdots 2p$
Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$
Mà theo cách chọn $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$
tức là $2^n-2\vdots n$ $\square$
Cho mình hỏi tại sao $n-1\vdots 2p$ thì $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$ vậy
#4
Đã gửi 30-07-2015 - 18:30
Vì $n-1\vdots 2p$ nên giả sử $n-1=2pk$ $(k\in \mathbb{N})$
$2^{n-1}-1=2^{2pk}-1=(2^{2p}-1)M$ $\vdots 2^{2p}-1$
- eminemdech yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh