Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 31-07-2015 - 17:44
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 31-07-2015 - 17:44
$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\left(a+b+c\right)^5\geqslant \left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8$
Do đó ta cần chứng minh: $\left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8\geqslant 3^5\left(ab+bc+ca\right)^3$
Đây là một bất đẳng thức của Vasile nên ta có điều phải chứng minh.
$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\left(a+b+c\right)^5\geqslant \left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8$
Do đó ta cần chứng minh: $\left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8\geqslant 3^5\left(ab+bc+ca\right)^3$
Đây là một bất đẳng thức của Vasile nên ta có điều phải chứng minh.
Em thử chứng minh bất đẳng thức đó xem
Em thử chứng minh bất đẳng thức đó xem
Chuẩn hóa $\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}=3$ và đặt $x=\sqrt[4]{a}, y=\sqrt[4]{b}, z=\sqrt[4]{c}$ thì $x^3+y^3+z^3=3$ và bất đẳng thức trở thành:
\[x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leqslant 3\]
Bài này chắc ai cũng giải được.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh