Chủ đề này có 1 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Tìm số tự nhiên n lẻ sao cho : $n^{11}+199$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi olympiachapcanhuocmo: 31-07-2015 - 21:18

[Changg Changg]

Giả sử tồn tại số tự nhiên lẻ $n$ sao cho $n^{11}+199$ là số chính phương.

Khi đó tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $n^{11}+199=m^2$

Do $n$ lẻ nên $n\equiv 1,3\pmod{4}$. Nếu $n\equiv 3\pmod{4}$ thì $m^2\equiv 2\pmod{4}$ vô lý.

Ta viết lại phương trình dưới dạng: $(n+2)\left(n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024\right)=m^2+43^2$

Do $n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024\equiv 3\pmod{4}$ nên $n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024$ có ít nhất một ước nguyên tố dạng $p=4k+3$

Do đó $p\mid 43$ và $p\mid m$ nên $p=43$ nên $43^2\mid (n+2)\left(n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024\right)$

Không thể có $43\mid n+2$ nên $43^2\mid n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024$

Do vậy ta có $43^2\mid n^{10}-2n^{9}+...-512n+1024=43^2a$ và $m=43b$ nên $a(n+2)=b^2+1$

Lại có $n+2\equiv 3\pmod{4}$ nên tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n+2$ có dạng $q=4k+3$ vô lý.