Chủ đề này có 1 trả lời

[Watson1504]

Chứng minh rằng không tồn lại số $n$ lẻ , $n>1$ sao cho $15^n$+$1$ chia hết cho $n$.

[Nguyen Bao Khanh]

Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và khi đó $p$ lẻ. Từ giả thiết suy ra $(n;15)=1$

Ta có $15^{2n}-1 \vdots n \vdots p; 15^{p-1}\vdots p$ (theo định lý Fermat nhỏ).

Gọi $ord_p(15)=h; h \in \mathbb{N^*}$. Khi đó $2n \vdots h; p-1 \vdots h.$

• Nếu $h$ lẻ thì $h$ là ước của $n$ và $h \le p-1 <p$. Từ đó nếu $h \ge 2$ thì $h$ có ước nguyên tố khác $p$ và nó là ước của $n$ và nó bé hơn $p$, mâu thuẫn cách chọn $p$. Từ đó $h=1 \implies p =7$
• Nếu $h$ chẵn thì $\frac{h}{2}$ là ước của  $n$ và $\frac{h}{2} \le p-1 <p$. Từ đó nếu $\frac{h}{2} \ge 2$ thì $ h$ có ước nguyên tố khác $p$ và nó là ước của $n$, nó bé hơn $p$, mâu thuẫn cách chọn $p$. Từ đó $h=2 \implies p=7$.

 Suy ra $n \vdots 7$ nhưng $15^n+1 \equiv 2 \pmod 7$, vô lý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 11-02-2024 - 00:37