Chủ đề này có 5 trả lời

[Tieu Vuong Gia]

Nhờ các anh em trong diễn đàn giải gium mình bài này với: Cho G là nhóm xiclic cấp n. Ký hiệu Aut(G) là tập các tự đẳng cấu trên G. Chứng minh rằng Aut(G) đẳng cấu với U_n trong đó U_n là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành Z_n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tieu Vuong Gia: 01-08-2015 - 15:56

[Nxb]

Nhờ các anh em trong diễn đàn giải gium mình bài này với: Cho G là nhóm xiclic cấp n. Ký hiệu Aut(G) là tập các tự đẳng cấu trên G. Chứng minh rằng Aut(G) đẳng cấu với U_n trong đó U_n là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành Z_n

Mình nghĩ là người ta hay kí hiệu $Z_n$ cho nhóm cyclic n phần tử hơn. Chắc ý bạn là vành $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (ta cố định kí hiệu $Z_n$ cho nhóm cyclic n phần tử vì nhóm này duy nhất lên tới đẳng cấu, bạn sử dụng kí hiệu này nói chung là sai về bản chất vì vành n phần tử không duy nhất nên bạn không thể dùng kí hiệu chung được). Để chứng minh điều này, ta có thể trực tiếp chỉ ra một đẳng cấu giữa hai nhóm này như sau: với mỗi $a\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$(ta sử dụng cùng kí hiệu cho a và lớp tương tương chứa nó) ta định nghĩa một ánh xạ tương ứng $\phi_a \in Aut(G)$,

$$\phi_a: G \to G$$

$$x \mapsto x^a$$

Tức là phép nâng lên lũy thừa bậc a (như ta sẽ thấy, đối với nhóm cyclic đây là kiểu tự đẳng cấu duy nhất của nhóm G). Giờ ta xây dựng đẳng cấu $\psi$ giữa $Aut(G)$ và $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ như sau:

$$\psi: (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} \to Aut(G)$$

$$   a \mapsto \phi_a$$

Dễ dàng chứng minh được $\psi$ là một đơn cấu, ta chỉ cần chỉ ra ánh xạ trên là toàn cấu. Mỗi tự đẳng cấu $\phi$ của G xác định duy nhất bởi phần tử sinh g của nó. Nếu $g \mapsto g^a$ thì do mỗi phần tử của G là lũy thừa nào đó của g nên ta chỉ ra được $x \mapsto x^a$. Một đẳng cấu bảo toàn cấu trúc nhóm, nói riêng ánh xạ phần tử sinh của nhóm này tới phần tử sinh của nhóm kia nên $g^a$ cũng là phần tử sinh của g, tức là a nguyên tố cùng nhau với n. Vậy $a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ và $\psi$ là toàn cấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 02-08-2015 - 09:08

[Tieu Vuong Gia]

 

Mình nghĩ là người ta hay kí hiệu $Z_n$ cho nhóm cyclic n phần tử hơn. Chắc ý bạn là vành $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (ta cố định kí hiệu $Z_n$ cho nhóm cyclic n phần tử vì nhóm này duy nhất lên tới đẳng cấu, bạn sử dụng kí hiệu này nói chung là sai về bản chất vì vành n phần tử không duy nhất nên bạn không thể dùng kí hiệu chung được).

 

Mình đã xem một số giáo trình đại số đại cương rồi. Họ sử dụng kí hiệu  $Z_n$ thay thế cho  $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Hơn nữa $Z_n$ là vành các số nguyên đồng dư theo môđun n nên không sai đâu. Ở đây mình nhờ bạn kiểm tra giùm mình xem số phần tử của Aut(G) và U_n là bao nhiêu? Các phần tử trong U_n được biểu diễn như thế nào? Vì mình chưa hiểu lắm. Thanks bạn

[Nxb]

Mình đã xem một số giáo trình đại số đại cương rồi. Họ sử dụng kí hiệu  $Z_n$ thay thế cho  $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Hơn nữa $Z_n$ là vành các số nguyên đồng dư theo môđun n nên không sai đâu. Ở đây mình nhờ bạn kiểm tra giùm mình xem số phần tử của Aut(G) và U_n là bao nhiêu? Các phần tử trong U_n được biểu diễn như thế nào? Vì mình chưa hiểu lắm. Thanks bạn

Bạn dùng giáo trình nào vậy, tất nhiên việc quan trọng là hiểu nhưng kí hiệu đôi khi cũng thể hiện là một ý nghĩa toán học nào đó nên mình nghĩ cần chính xác. Ở đây $Z_n$ kí hiệu cho các nhóm cyclic vì chúng là duy nhất lên tới đẳng cấu nên mới có thể dùng kí hiệu này chung. Giờ ta dùng kí hiệu này cho cả tập các số nguyên modulo n luôn thì mặc định $Z_n$ là tập đó, một điều rõ ràng không hề đúng với bản chất của kí hiệu này vì nó chả là tập cố định nào cả, và phép cộng thế nào là do ta quy định. Ví dụ vành 4 phần tử mà nhóm nhân của nó là $Z_4$ đã có tới tận 10-20 vành khác nhau rồi. Mình nghĩ có thể bạn nhầm với kí hiệu $\mathbb{Z}_n$ chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 02-08-2015 - 17:51

[Tieu Vuong Gia]

Bạn dùng giáo trình nào vậy, tất nhiên việc quan trọng là hiểu nhưng kí hiệu đôi khi cũng thể hiện là một ý nghĩa toán học nào đó nên mình nghĩ cần chính xác. Ở đây $Z_n$ kí hiệu cho các nhóm cyclic vì chúng là duy nhất lên tới đẳng cấu nên mới có thể dùng kí hiệu này chung. Giờ ta dùng kí hiệu này cho cả tập các số nguyên modulo n luôn thì mặc định $Z_n$ là tập đó, một điều rõ ràng không hề đúng với bản chất của kí hiệu này vì nó chả là tập cố định nào cả, và phép cộng thế nào là do ta quy định. Ví dụ vành 4 phần tử mà nhóm nhân của nó là $Z_4$ đã có tới tận 10-20 vành khác nhau rồi. Mình nghĩ có thể bạn nhầm với kí hiệu $\mathbb{Z}_n$ chăng?

Cái này thì do mình chỉ biết gõ Z_n chứ không biết gõ $\mathbb{Z}_n$. Bạn giúp mình chỉ ra các phần tử của Aut(G) và của U_n(Nhóm nhân gồm các phần tử khả nghịch của vành $\mathbb{Z}_n$) với. Và 2 nhóm này gồm bao nhiêu phần tử? Cảm ơn bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tieu Vuong Gia: 03-08-2015 - 16:25

[Nxb]

Cái này thì do mình chỉ biết gõ Z_n chứ không biết gõ $\mathbb{Z}_n$. Bạn giúp mình chỉ ra các phần tử của Aut(G) và của U_n(Nhóm nhân gồm các phần tử khả nghịch của vành $\mathbb{Z}_n$) với. Và 2 nhóm này gồm bao nhiêu phần tử? Cảm ơn bạn.

Mình viết ở trên rồi còn gì, đấy là phép lũy thừa một số nguyên tố cùng nhau với n. Còn số phần tử chính là định nghĩa của hàm Euler $\phi(n)=|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{times}|$. Trên wiki có nói không nên dùng kí hiệu $\mathbb{Z}_n$ vì nhầm lẫn với các số n-adic