Cho $x,y \ne 0$ .C/m
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
C/m $\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
Bắt đầu bởi Math Master, 01-08-2015 - 16:12
#1
Đã gửi 01-08-2015 - 16:12
Math Master
-
- Thành viên
-
- 245 Bài viết
Blue Sky
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
#2
Đã gửi 01-08-2015 - 16:19
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
BĐT$\Leftrightarrow \dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\geq 1\Leftrightarrow x^4+y^4\geq 2x^2y^2$ (Đúng theo AM-GM)Cho $x,y \ne 0$ .C/m
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
#3
Đã gửi 01-08-2015 - 16:42
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
BĐT$\Leftrightarrow \dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\geq 1\Leftrightarrow x^4+y^4\geq 2x^2y^2$ (Đúng theo AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
Bị ngược dấu rồi 
Cho $x,y \ne 0$ .C/m
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
Ta có:
$\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\geq \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{2x^2y^2}$
$=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 3$
- Minhnguyenthe333 và Math Master thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#4
Đã gửi 01-08-2015 - 17:28
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $x,y \ne 0$ .C/m
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
Đặt $x^2=a;y^2=b$
$\Rightarrow P=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{4ab}{(a+b)^2}=\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\frac{a^2+b^2}{2ab}+\frac{4ab}{(a+b)^2}\geq 1+\frac{(a+b)^2}{4ab}+\frac{4ab}{(a+b)^2}\geq 3$
Cách khác:
Áp dụng BĐT $AM-GM$:
$P+2=\frac{x^2+y^2}{2x^2}+\frac{x^2+y^2}{2x^2}+\frac{x^2+y^2}{2y^2}+\frac{x^2+y^2}{2y^2}+\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\geq 5\sqrt[5]{\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}}\geq 5\Rightarrow P\geq 3$
#5
Đã gửi 01-08-2015 - 19:16
honmacarong100
-
- Thành viên
-
- 51 Bài viết
Hạ sĩ
Cách khác đây. Ta có $(x^2+y^2)^2\geq 4x^2y^2$ Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Đặt $A=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \Rightarrow A+2=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2} \Leftrightarrow A+2= \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}+\frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2+3=5 \Rightarrow A\geq3$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Vậy $A\geq3 \Leftrightarrow x=y$
Nhớ LIKE nhá!!!!!!
- Math Master yêu thích
Chúa không chơi trò xúc xắc
God doesn't play die
-Albert Einstein-
#6
Đã gửi 01-08-2015 - 20:48
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
Cho $x,y \ne 0$ .C/m
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \geq 3$
Lời giải bằng maple.
\[\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} - 3 = \frac{(x-y)^2(x+y)^2(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2(x^2+y^2)^2} \geqslant 0.\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 01-08-2015 - 20:49
- Math Master yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
