Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

tìm tất cả các hàm số f : R->R

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$


tiến tới thành công  :D


#2
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

tìm tất cả các hàm số f : R->R

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 22:34

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#3
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 

bạn có thể cm rõ chỗ tăng thực sự đc ko


tiến tới thành công  :D


#4
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Giả sử $x>y$ .Khi ấy $x-y>0$ ,suy ra $f(x-y)>0$ ( chỗ này do $f$ đơn ánh đây )

Mặt khác $f$ cộng tính nên $f(x)=f((x-y)+y)=f(x-y)+f(y)>f(y)$ :icon6:  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:00

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#5
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 

mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi


tiến tới thành công  :D


#6
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
Đề sai mà :v

#7
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi

Ờ đúng rồi, đề đúng phải là $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$

 http://www.cs.cornel.../imo/imo92.html


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:34

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#8
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

http://www.baigiangt...-2014-2015.html

ko sai đâu


tiến tới thành công  :D


#9
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Mình nghĩ bài hàm ở trang đó không đúng.

 

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc Gia tỉnh Thái Bình năm 2014-2015.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#10
Minhquantq08

Minhquantq08

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Làm sao để chứng minh nó là đơn ánh ạ?



#11
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Làm sao để chứng minh nó là đơn ánh ạ?

Cho $x=0$ thì sẽ có $f(f(y))=y+f(0)^2$, nên $\forall a, b: f(a)=f(b) \Rightarrow a = b$, tức $f$ đơn ánh.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh