tìm tất cả các hàm số f : R->R
$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$
tìm tất cả các hàm số f : R->R
$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$
tiến tới thành công
tìm tất cả các hàm số f : R->R
$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$
Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh
Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$
Đặt $f(0)=b$
Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$
Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$
Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$
Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$ $(*)$
Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$ $(**)$
Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Áp dụng $(*)$ và $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :
$f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$
Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự
Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn
Vậy $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 22:34
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh
Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$
Đặt $f(0)=b$
Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$
Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$
Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$
Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$ $(*)$
Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$ $(**)$
Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Áp dụng $(*)$ và $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :
$f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$
Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự
Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn
Vậy $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$
bạn có thể cm rõ chỗ tăng thực sự đc ko
tiến tới thành công
Giả sử $x>y$ .Khi ấy $x-y>0$ ,suy ra $f(x-y)>0$ ( chỗ này do $f$ đơn ánh đây )
Mặt khác $f$ cộng tính nên $f(x)=f((x-y)+y)=f(x-y)+f(y)>f(y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:00
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh
Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$
Đặt $f(0)=b$
Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$
Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$
Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$
Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$ $(*)$
Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$ $(**)$
Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Áp dụng $(*)$ và $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :
$f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$
Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự
Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn
Vậy $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$
mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi
tiến tới thành công
mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi
Ờ đúng rồi, đề đúng phải là $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$
http://www.cs.cornel.../imo/imo92.html
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:34
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
http://www.baigiangt...-2014-2015.html
ko sai đâu
Mình nghĩ bài hàm ở trang đó không đúng.
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc Gia tỉnh Thái Bình năm 2014-2015.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Làm sao để chứng minh nó là đơn ánh ạ?
Làm sao để chứng minh nó là đơn ánh ạ?
Cho $x=0$ thì sẽ có $f(f(y))=y+f(0)^2$, nên $\forall a, b: f(a)=f(b) \Rightarrow a = b$, tức $f$ đơn ánh.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh