Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 01-08-2015 - 20:38

tìm tất cả các hàm số f : R->R

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$


tiến tới thành công  :D


#2 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 01-08-2015 - 22:33

tìm tất cả các hàm số f : R->R

$f(x^2+f(y))=y+(f(x^2))^2$

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 22:34

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#3 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 01-08-2015 - 22:40

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 

bạn có thể cm rõ chỗ tăng thực sự đc ko


tiến tới thành công  :D


#4 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 01-08-2015 - 22:55

Giả sử $x>y$ .Khi ấy $x-y>0$ ,suy ra $f(x-y)>0$ ( chỗ này do $f$ đơn ánh đây )

Mặt khác $f$ cộng tính nên $f(x)=f((x-y)+y)=f(x-y)+f(y)>f(y)$ :icon6:  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:00

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#5 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 01-08-2015 - 23:05

Ta chứng minh được $f$ là đơn ánh

Cố định $x$ và thay đổi $y$ thì vế phải có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ,nên vế trái cũng thế .Suy ra tồn tại duy nhất số $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)=0$

Đặt $f(0)=b$ 

 Cho $x=0$ thu được $f(f(x))=x+b^2$

 Lại cho $x=y=a$ cũng thu được $f(a^2+f(a))=a+(f(a))^2\Rightarrow f(a^2)=a$

Từ đó suy ra $f(a)=f(f(a^2))=a^2+b^2\Rightarrow a^2+b^2=0\Rightarrow a=b=0$

Vậy $f(0)=0$ ,thành thử $f(f(x))=x$                                                        $(*)$

Thay $y=0$ cho $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$ thì $f(x^2)=(f(x))^2$                $(**)$

Do $f$ đơn ánh nên với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$

Áp dụng $(*)$ và  $(**)$ ,ta có với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}$ :

       $f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2=f(y)+(f(\sqrt{x})^2)=f(x)+f(y)$

 Vì thế $f$ là cộng tính .Mặt khác cũng chứng minh được rằng $f$ tăng thực sự 

Thành thử $f(x)=kx$ , lại có $f(1)=1$ nên $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{R}$ .Thử lại thấy thoả mãn 

       Vậy     $$f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$$ 

mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi


tiến tới thành công  :D


#6 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 01-08-2015 - 23:29

Đề sai mà :v

#7 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 01-08-2015 - 23:32

mà f(x)=x ko thỏa mãn rồi

Ờ đúng rồi, đề đúng phải là $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$

 http://www.cs.cornel.../imo/imo92.html


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 01-08-2015 - 23:34

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#8 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 02-08-2015 - 09:46

http://www.baigiangt...-2014-2015.html

ko sai đâu


tiến tới thành công  :D


#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 02-08-2015 - 14:59

Mình nghĩ bài hàm ở trang đó không đúng.

 

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc Gia tỉnh Thái Bình năm 2014-2015.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh