Chủ đề này có 2 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

$\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$

[nangcuong8e]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

$\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$

Hơi dài, với lại không biết có đúng không 

 Ta có: $A=\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \Rightarrow A^2 \leq 3 \sum \frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}$

Do đó ta cần chứng minh $B = \sum \frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} \leq 3$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}-1) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{b+c-a -(b+c+a+2\sqrt{bc} -2\sqrt{ca}-2\sqrt{ab}}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} +\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} +\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2} \leq 0$ (1)

 Do $a,b,c$ hoán vị vòng quanh (?) nên ta giả sử $a \geq b$,$a \geq c \Leftrightarrow \sqrt{a} \geq \sqrt{b},\sqrt{a} \geq \sqrt{c}$ thì ta luôn có:

$0 < \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$ và $0 < \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \leq \sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}$ và $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}$

 Do đó $B \leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a}) +(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c}) +(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}$

$\Rightarrow B \leq \frac{(\sqrt{a} -\sqrt{b} +\sqrt{b} -\sqrt{c} +\sqrt{c} -\sqrt{a})^2}{3(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} =0$

 Do đó (1) được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 02-08-2015 - 11:26

[hoilamchi]

Hơi dài, với lại không biết có đúng không 

 Ta có: $A=\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \Rightarrow A^2 \leq 3 \sum \frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}$

Do đó ta cần chứng minh $B = \sum \frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} \leq 3$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{b+c-a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}-1) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{b+c-a -(b+c+a+2\sqrt{bc} -2\sqrt{ca}-2\sqrt{ab}}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \sum (\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow B= \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} +\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} +\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2} \leq 0$ (1)

 Do $a,b,c$ hoán vị vòng quanh (?) nên ta giả sử $a \geq b$,$a \geq c \Leftrightarrow \sqrt{a} \geq \sqrt{b},\sqrt{a} \geq \sqrt{c}$ thì ta luôn có:

$0 < \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$ và $0 < \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \leq \sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}$ và $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}$

 Do đó $B \leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{a}) +(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c}) +(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2}$

$\Rightarrow B \leq \frac{(\sqrt{a} -\sqrt{b} +\sqrt{b} -\sqrt{c} +\sqrt{c} -\sqrt{a})^2}{3(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2} =0$

 Do đó (1) được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$.

Mình chưa hiểu đoạn màu đỏ lắm ,sao từ đoạn màu xanh lại suy ra được đoạn màu đỏ vậy bạn?