$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$
Khai triển ra ta thu được: $a^{2}b^{2}c^{2}+2\sum a^{2}b^{2}+4\sum a^{2}+8\geq 9(ab+bc+ca)$
Ta thấy: $2\sum (a^{2}b^{2}+1)\geq 4(ab+bc+ca)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Từ Schur: $\sum a(a-c)(a-b)\geq 0\Rightarrow \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$
Nên: $a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$
Cộng hết vào ta thu được:
$a^{2}b^{2}c^{2}+2+2\sum (a^{2}b^{2}+1)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab+bc+ca)$
Hay: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$
1) Ta có BĐT $\Leftrightarrow x^2(y^2-3y+3)-x(3y^2-5y+3)+3y^2-3y+1$
Xét $\Delta_x=(3y^2-5y+3)^2-4(y^2-3y+3)(3y^2-3y+1)=-3(y^2-3y+1)^2\leq 0$
Lại có $y^2-3y+3> 0$
Nên $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$ $\forall ~x,y\in \mathbb{R}$
2) Áp dụng Cauchy-Schwarz :
$9(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+c)^2\leq 3(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]$
Nên ta chỉ cần chứng minh $3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\leq (b^2+2)(c^2+2)$
$\Leftrightarrow 2(bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0$ đúng
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh