Đến nội dung

Hình ảnh

$3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 

 



#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

Khai triển ra ta thu được: $a^{2}b^{2}c^{2}+2\sum a^{2}b^{2}+4\sum a^{2}+8\geq 9(ab+bc+ca)$

Ta thấy: $2\sum (a^{2}b^{2}+1)\geq 4(ab+bc+ca)$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Từ Schur: $\sum a(a-c)(a-b)\geq 0\Rightarrow \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$

Nên: $a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$

Cộng hết vào ta thu được:

$a^{2}b^{2}c^{2}+2+2\sum (a^{2}b^{2}+1)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab+bc+ca)$

Hay: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 1) Ta có BĐT $\Leftrightarrow x^2(y^2-3y+3)-x(3y^2-5y+3)+3y^2-3y+1$

   Xét $\Delta_x=(3y^2-5y+3)^2-4(y^2-3y+3)(3y^2-3y+1)=-3(y^2-3y+1)^2\leq 0$

   Lại có $y^2-3y+3> 0$

   Nên $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$ $\forall ~x,y\in \mathbb{R}$

 2) Áp dụng Cauchy-Schwarz :

   $9(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+c)^2\leq 3(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]$

   Nên ta chỉ cần chứng minh $3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\leq (b^2+2)(c^2+2)$

                                              $\Leftrightarrow 2(bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0$ đúng






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh