Chủ đề này có 1 trả lời

[eminemdech]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác có ba đường cao tương ứng là $h_{a},h_{b},h_{c}$.Chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{h_{a}^2+h_{b}^2+h_{c}^2}\geq 4$

[viet nam in my heart]

Gọi S là diện tích của tam giác có 3 cạnh $a,b,c$. Khi đó theo công thức Heron ta có: $16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

Ta có:$h_a^2=\frac{4S^2}{a^2}$ ,$h_b^2=\frac{4S^2}{b^2}$ ,$h_c^2=\frac{4S^2}{c^2}$ 

Do đó chỉ cần chứng minh $a+b+c \geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác nên tồn tại các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $a=x+y,b=y+z,c=z+x$

Khi đó ta cần chứng minh: $2(x+y+z) \geq 8xyz\left [ \frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2} \right ]$

Hay $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{4}{(y+z)^2}+\frac{4}{(z+x)^2}$

Bất đẳng thức này luôn đúng vì ta có: $(x+y)^2 \geq 4xy,(z+x)^2 \geq 4zx,(y+z)^2 \geq 4yz$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ khi và chỉ khi $a=b=c$