Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Giải hệ phương trình

Hình gửi kèm

• 

[Louis Lagrange]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^{3}+y^{3}-2xy}{2xy}+8\sqrt{xy}-\sqrt{2y-1}=4x+3y\\ \sqrt{2-y^{2}}+2xy+2x+3y=8 \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $xy\geq 0, y\geq \frac{1}{2},2-y^{2}\geq 0$

Ta có: $\dfrac{(x+y)^{3}}{2xy} +4\sqrt{xy}+4\sqrt{xy}-\frac{3(x+y)}{2}\geq 6(x+y)-\frac{3(x+y)}{2}=\frac{9(x+y)}{2}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}-2xy}{2xy}+8\sqrt{xy}\geq \frac{9(x+y)}{2}-1$

mặt khác: $-\sqrt{2y-1}\geq -\frac{1+(2y-1)}{2}=-y$

$\Rightarrow VP(1)=4x+3y= VT (1)\geq \frac{9(x+y)}{2}-y-1$

$\Leftrightarrow x+y\leq 2$

$pt(2):8=2x+2xy+2y+(y+\sqrt{2-y^{2}})\leq 2x+2xy+2y+2$

$\Rightarrow 4\leq (x+1)(y+1)\leq \frac{(x+y+2)^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow x+y\geq 2$

Suy ra $x+y=2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(1;1)$