Chủ đề này có 1 trả lời

[nhivanle]

Chứng minh: 

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc} + \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+ab }+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc+c^{2}} + \frac{c^{2}+a^{2}}{ac+ b^{2}}\geq \frac{9}{2}$

 

MOD : Lần sau chú ý nhé bạn ! (Sẽ phạt nếu tái phạm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 02-08-2015 - 15:24

[hoanglong2k]

Chứng minh: 

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc} + \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+ab }+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc+c^{2}} + \frac{c^{2}+a^{2}}{ac+ b^{2}}\geq \frac{9}{2}$

 

MOD : Lần sau chú ý nhé bạn ! (Sẽ phạt nếu tái phạm)

  Đề chắc phải $a,b,c$ dương nhỉ

 Áp dụng AM-GM thì $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}\geq \frac{3}{2}$              $(1)$

 Và $\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{bc+c^2} + \frac{c^{2}+a^{2}}{ac+ b^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}.\frac{b^2+c^{2}}{bc+c^{2}}.\frac{c^2+a^2}{ac+ b^2}}$

 Áp dụng Cauchy-Schwarz : $\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq a^2+bc$

                      $\Rightarrow (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)$

                      $\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{bc+c^2} + \frac{c^{2}+a^{2}}{ac+ b^2}\geq 3$              $(2)$

 Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều cần chứng minh