Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Bài 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{6}{5}$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=5$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Bài 3: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^4+b^4+c^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=2$. Tìm GTNN của biểu thức $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{6}{5}$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

  Xơi câu này trước, mấy câu sau chắc tương tự

  Bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hoá $a+b+c=1$

  Khi đó từ giả thiết dễ dàng tính được $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{16};ab+bc+ca=\frac{5}{16}$

     $\Rightarrow ab=\frac{5}{16}-c(a+b)=\frac{5}{16}-c(1-c)$

 Đặt biểu thức cần tìm cực trị là $A$

 Ta có : $A=(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}=\frac{5}{16c\left [ \frac{5}{16}-c(1-c) \right ]}=\frac{80}{16(5c-16c^2+16c^3)}$

 Đến đây là hàm một biến có ràng buộc điều kiện $c\in \left (0;\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\right )$ nên có lẽ dễ :)

 Kết quả : $A_{max}=\frac{54}{5}$ và $A_{min}=10$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 02-08-2015 - 22:01





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh