Chủ đề này có 4 trả lời

[Dragon ball]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Ta có: BĐT tương đương:

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2\geq 4$

Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z$ thì $x+y+z=3$

BĐT trở thành:

$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$

Giả sử x=min {x,y,z} thì $x \leq 1$

Ta sẽ biến đổi để đưa BĐT về một ẩn:

$x^2+y^2+z^2+xyz=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4\geq x^2+(y+z)^2+\frac{(y+z)^2}{4}(x-2)-4$

Giờ thay $y+z=3-x$ vào ta thu được BĐT tương đương:

$x^2+\frac{x+2}{4}(3-x)^2-4=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0$ (luôn đúng)

BĐT được chứng minh 

[Changg Changg]

Ta có: BĐT tương đương:

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2\geq 4$

Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z$ thì $x+y+z=3$

BĐT trở thành:

$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$

Giả sử x=min {x,y,z} thì $x \leq 1$

Ta sẽ biến đổi để đưa BĐT về một ẩn:

$x^2+y^2+z^2+xyz=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4\geq x^2+(y+z)^2+\frac{(y+z)^2}{4}(x-2)-4$

Giờ thay $y+z=3-x$ vào ta thu được BĐT tương đương:

$x^2+\frac{x+2}{4}(3-x)^2-4=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0$ (luôn đúng)

BĐT được chứng minh 

Giả sử $(y-1)(z-1)\geqslant 0$ thì $x^2+xyz\geqslant 2x$. Do đó ta cần chứng minh: $y^2+z^2+2x\geqslant 4$

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng theo AM-GM: $y^2+z^2+2x\geqslant 2(x+y+z)-2=4$

[Changg Changg]

Ngoài ra bất đẳng thức cuối ta còn có thể chứng minh bằng đồng bậc:

$\dfrac{9(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\dfrac{27xyz}{(x+y+z)^3}\geqslant 4\Leftrightarrow 5(x^2+y^2+z^2)+\dfrac{27xyz}{x+y+z}\geqslant 8(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3\left(x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z}-2xy-2yz-2zx\right)\geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

[25 minutes]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Mình thấy cách này đơn giản hơn nhiều !!!

BĐt tương đương với 

  $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo C-S

 $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$