Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$
Ta có: BĐT tương đương:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2\geq 4$
Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z$ thì $x+y+z=3$
BĐT trở thành:
$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$
Giả sử x=min {x,y,z} thì $x \leq 1$
Ta sẽ biến đổi để đưa BĐT về một ẩn:
$x^2+y^2+z^2+xyz=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4\geq x^2+(y+z)^2+\frac{(y+z)^2}{4}(x-2)-4$
Giờ thay $y+z=3-x$ vào ta thu được BĐT tương đương:
$x^2+\frac{x+2}{4}(3-x)^2-4=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0$ (luôn đúng)
BĐT được chứng minh
Ta có: BĐT tương đương:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2\geq 4$
Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z$ thì $x+y+z=3$
BĐT trở thành:
$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4$
Giả sử x=min {x,y,z} thì $x \leq 1$
Ta sẽ biến đổi để đưa BĐT về một ẩn:
$x^2+y^2+z^2+xyz=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4\geq x^2+(y+z)^2+\frac{(y+z)^2}{4}(x-2)-4$
Giờ thay $y+z=3-x$ vào ta thu được BĐT tương đương:
$x^2+\frac{x+2}{4}(3-x)^2-4=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0$ (luôn đúng)
BĐT được chứng minh
Giả sử $(y-1)(z-1)\geqslant 0$ thì $x^2+xyz\geqslant 2x$. Do đó ta cần chứng minh: $y^2+z^2+2x\geqslant 4$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng theo AM-GM: $y^2+z^2+2x\geqslant 2(x+y+z)-2=4$
Ngoài ra bất đẳng thức cuối ta còn có thể chứng minh bằng đồng bậc:
$\dfrac{9(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\dfrac{27xyz}{(x+y+z)^3}\geqslant 4\Leftrightarrow 5(x^2+y^2+z^2)+\dfrac{27xyz}{x+y+z}\geqslant 8(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3\left(x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z}-2xy-2yz-2zx\right)\geqslant 0$ hiển nhiên đúng.
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$
Mình thấy cách này đơn giản hơn nhiều !!!
BĐt tương đương với
$\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant 1$
BĐT trên luôn đúng theo C-S
$\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh