Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Bài Toán:

 

Với $ p ( x_1; x_2; ... x_n)$ là đa thức $n$ biến với phần tử hằng số là $0$, kí hiệu $ \sharp (p)$ là số các nhân tử có số mũ khác nhau trong khai triển đa thức sau khi thu gọn lại các nhân tử có số mũ giống nhau.

 

Ví dụ $ \sharp ((x_1+x_2)^5) =6$

 

Tìm công thức tính theo $n$ của dãy $ \sharp (q_n)$ biết rằng:

 

$ q_n (x) = x_1 (x_1+x_2)(x_1+ x_2 + x_3)... ( x_1+ x_2 +...+  x_n)$

[Hr MiSu]

Xét $q_n (x) = x_1 (x_1+x_2)(x_1+ x_2 + x_3)... ( x_1+ x_2 +...+ x_n),$.

ta tính số cách chọn số mũ của $(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})( x_1+ x_2 +...+ x_n),$

ta có: $(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})( x_1+ x_2 +...+ x_n)=(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})^{2}+x_n(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})$

để ý $(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})^{2}$ chứa $n-1+\binom{n-1}{2}=\frac{(n-1)n}{2}$ cách chọn số mũ phân biệt, $x_n(x_1+ x_2 + x_3+...+x_{n-1})$ có $n-1$ cách chọn số mũ phân biệt. Vậy tổng cộng có $\frac{(n+2)(n-1)}{2}$ cách chọn.

Như vậy ta có hệ thức truy hồi:$\sharp (q_n)=\frac{(n-1)(n+2)}{2}\sharp (q_{n-2})$

từ đó quy nạp lên ta sẽ tính đc theo n