Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvan0105]

1/ Chứng minh rằng:

$1^{2}C_{n}^{1}+2^{2}C_{n}^{2}+3^{2}C_{n}^{3}+...+n^{2}C_{n}^{n}=n\left ( n+1 \right )2^{n-2}$

2/ Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức $\frac{A_{n}^{3}+C_{n}^{3}}{\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )}=35 \left ( n\geq 3 \right )$

Tính tổng

$S=2^{2}C_{n}^{2}-3^{2}C_{n}^{3}+...+\left ( -1 \right )^{n}n^{2}C_{n}^{n}$

[Rias Gremory]

1/ Chứng minh rằng:

$1^{2}C_{n}^{1}+2^{2}C_{n}^{2}+3^{2}C_{n}^{3}+...+n^{2}C_{n}^{n}=n\left ( n+1 \right )2^{n-2}$

Ta có : $k^{2}.C_{n}^{k}=k(k-1)C_{n}^{k}+kC_{n}^{k}$

$k.C_{n}^{k}=k.\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)!}{(k-1)![n-1-(k-1)]!}=n.C_{n-1}^{k-1}$ (1)

Áp dụng (1) hai lần ta đc :

$(k-1)k.C_{n}^{k}=n(k-1)C_{n-1}^{k-1}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$

$\Rightarrow k^2.C_{n}^{k}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}+n.C_{n-1}^{k-1}$

Áp dụng vào là OK