Đến nội dung

Hình ảnh

$2^{k} \equiv 1 (\textrm{mod 2p+1})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Bài 1: 

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4t+1$ sao cho $2p+1$ cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k<2p$ và $2^{k} \equiv 1 (\textrm{mod 2p+1})$
Bài 2: 
Với $p$ là số nguyên tố, đặt $n=\dfrac{2^{2p}-1}{3}$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{n}-2$ không chia hết cho $n$.



#2
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 2:

Với $p$ là số nguyên tố, đặt $n=\dfrac{2^{2p}-1}{3}$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{n}-2$ không chia hết cho $n$.

Xem ở đây : http://diendantoanho...g-2n-2-vdots-n/


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài 1: 

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4t+1$ sao cho $2p+1$ cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k<2p$ và $2^{k} \equiv 1 (\textrm{mod 2p+1})$

giả sử tồn tại $k$ thỏa đề thì ta có $ord_{2p+1}(2)\mid (2p,k)$  mà $k<2p$ do đó $ord_{2p+1}(2)\in \left \{ 1,2,p \right \}$

mà $2p+1\le 2^{ord_{2p+1}(2)}-1$ nên $ord_{2p+1}(2)=p$

$\Rightarrow 2^{p+1}\equiv 2(mod\ 2p+1)$

$\left ( \frac{2}{2p+1} \right )=1$   $(*)$

mà $2p+1\equiv 3(mod\ 8)$ mâu thuẫn với $(*)$ nên giả sử ban đầu sai 

do đó không tồn tại $k$ thỏa đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-08-2015 - 14:07

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#4
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Chưa xem qua lời giải 2 bạn, thấy bài hay nên thử làm

Bài 1: 

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4t+1$ sao cho $2p+1$ cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k<2p$ và $2^{k} \equiv 1 \pmod{2p + 1}$

Giải. Yêu cầu bài toán tương đương với chứng minh $2p$ là cấp số nguyên của $2$ modulo $2p + 1$.
Giả sử ngược lại là tồn tại $k < 2p$ sao cho $2^{k}\equiv 1\pmod{2p + 1}$. Theo tính chất của cấp thì $k\mid 2p$. Khi đó:

  • Nếu $k = 1$ thì $2p + 1 = 1$, vô lí.
  • Nếu $k = 2$ thì $2p + 1 = 3 \implies p = 1$, vô lí.
  • Nếu $k = p$ hay $2^{p} \equiv 1\pmod{2p + 1} \implies 2^{p + 1} \equiv 2\pmod{2p + 1}$. Do đó $\begin{pmatrix} 2\\2p + 1 \end{pmatrix} = 1 \implies 2p + 1 \equiv 1; 7\pmod{8} \implies p\equiv 0; 3\pmod{4}$. Vô lí.

Vậy bài toán được giải quyết. $\bigstar$

 

Bài 2:

Với $p$ là số nguyên tố, đặt $n=\dfrac{2^{2p}-1}{3}$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{n}-2$ không chia hết cho $n$.

Kiểm tra $p = 2; 3$ không thỏa. Ta sẽ chứng minh $p = 2; 3$ là giá trị duy nhất không thỏa. Xét $p \ge 5$:
$n = \frac{4^{p} - 1}{3}$. Ta sẽ đi tìm $p$ để $2^{n} - 2\vdots n \implies 2^{n - 1} - 1 \vdots n \implies 2^{\frac{4^{p} - 4}{3}} \equiv 1\pmod{\frac{4^{p} - 1}{3}}$

Để ý là $2^{2p} \equiv 1\pmod{\frac{4^{p} - 1}{3}}$
Nếu ta chứng minh được $2p\mid \frac{4^{p} - 4}{3}$ thì điều ta dự đoán là đúng. Để ý là do $\gcd(p, 3) = 1$ nên ta cần chứng minh $2p\mid 4(4^{p - 1} - 1)$. Điều này đúng luôn nhờ định lý Fermat bé.
Xong. $\bigstar$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 01-05-2016 - 10:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh