Chủ đề này có 5 trả lời

[quocdat8a1]

1. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho ($x^{3}-8x^{2}+2x$ chia hết cho $x^{2}+1$

2. Cho a,b là các số nguyên dương sao cho $a^{2}+b^{2}$ chia hết cho tích ab. Hãy tính giá trị của biểu thức A = $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}$

3. Cho $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{n} \epsilon \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ với mọi n nguyên dương thỏa $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+...+a_{n}a_{1}=0$. Chứng minh rằng n $\vdots 4$

4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 10:32

[LeHKhai]

2. Cho a,b là các số nguyên dương sao cho $a^{2}+b^{2}$ chia hết cho tích ab. Hãy tính giá trị của biểu thức A = $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}$

Gọi $d=(a;b)$ $\Rightarrow a=da_1$, $b=db_1$ với $(a_1;b_1)=1$

Ta có $a^2+b^2 \vdots ab$ $\Rightarrow d^2\left ( a_1^2+b_1^2 \right )\vdots d^2a_1b_1$ $\Rightarrow a_1^2+b_1^2\vdots a_1b_1$

$\Rightarrow a_1^2+b_1^2\vdots a_1$ và $a_1^2+b_1^2\vdots b_1$ $\Rightarrow a_1^2\vdots b_1$ và $b_1^2\vdots a_1$.

Vì $(a_1;b_1)=1$ nên $a_1\vdots b_1$ và $b_1\vdots a_1$.

Suy ra $a_1=b_1=1$.

Từ đó $A=\frac{a_1^2+b_1^2}{a_1b_1}=2$.

[LeHKhai]

1. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho ($x^{3}-8x^{2}+2x$ chia hết cho $x^{2}+1$

Ta có $x^3-8x^2+2x=\left ( x^2+1 \right )\left ( x-8 \right )+x+8$ nên để $x^3-8x^2+2x \vdots x^2+1$ thì $x+8 \vdots x^2+1$.

Dễ thấy $x=-8$ là một giá trị cần tìm.

Nếu $x\neq -8$, ta có điều kiện cần để $x+8 \vdots x^2+1$ là $\left |x+8 \right |\geq x^2+1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-x-7\leq 0\\ x^2+x+9\leq 0\end{matrix}\right.$

Với $x\in \mathbb{Z}$ : bất phương trình thứ nhất có nghiệm $-2\leq x\leq 3$, bất phương trình thứ hai vô nghiệm.

Đến đây thử từng giá trị của $x$ ta thấy chỉ có $0$ và $2$ thỏa mãn.

Vậy $x\in \left \{ -8;0;2 \right \}$.

[LeHKhai]

3. Cho $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{n} \epsilon \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ với mọi n nguyên dương thỏa $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+...+a_{n}a_{1}=0$. Chứng minh rằng n $\vdots 4$

Đặt $x_1=a_1a_2$, $x_2=a_2a_3$, $...$, $x_n=a_na_1$.

Khi đó $x_1$, $x_2$, $...$, $x_n \in \left \{ -1;1 \right \}$.

Lại có $x_1+x_2+...+x_n=0$ $\Rightarrow $ trong các số $x_1$, $x_2$, $...$, $x_n$ số giá trị $1$ bằng số giá trị $-1$.

Giả sử có $m$ giá trị $1$ và $m$ giá trị $-1$, với $m\in\mathbb{N^*} \Rightarrow n=2m$ và $x_1x_2...x_n=\left ( -1 \right )^m$

Mặt khác, $x_1x_2...x_n=\left ( a_1a_2...a_n \right )^2=1$ nên $m$ chẵn

Do đó $n\vdots 4$.

[hoctrocuaHolmes]

4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$

4. Nhận thấy $a^{2}\equiv 0;1(mod 4)\Rightarrow a^{4}\equiv 0;1(mod 4)\Rightarrow a^{8}+3a^{4}-4=a^{4}(a^{4}+3)-4\equiv 0(mod 4)$ $(1)$

Lại có $a^{2}\equiv 1;4(mod 5)$ (do theo gt $a$ không chia hết cho $5$)

$\Rightarrow a^{4}\equiv 1(mod 5)\Rightarrow a^{8}+3a^{4}-4=(a^{4}-1)(a^{4}+4)$

mà $a^{4}-1\equiv 0(mod 5);a^{4}+4\equiv 1+4=5\equiv 0(mod 5)\Rightarrow (a^{4}-1)(a^{4}+4)\vdots 25$ $(2)$

Do $(4;25)=1$ nên $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 4.25=100$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 11:05

[JenTrinh]

4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$

Ta cần chứng minh $a^8+3a^4-4$ chia hết cho $4$ và $25$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4 \vdots 4$ :

Nếu $a$ chẵn thì $a^8+3a^4-4$ hiển nhiên chia hết cho $4$.

Nếu $a$ lẻ thì $a^2\equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow a^8\equiv 1$ (mod $4$) và $3a^4\equiv 3$ (mod $4$)

Do đó $a^8+3a^4-4\vdots 4$ với mọi $a$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4\vdots 25$ :

Vì $a$ không chia hết cho $5$ nên ta xét $2$ trường hợp :

Trường hợp $1$ : $a=5k\pm 1$ ($k\in\mathbb{Z}$) $\Rightarrow a^2=25k^2\pm 10k+1\equiv \pm 10k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^4\equiv \left ( \pm 10k+1 \right )^2= 100k^2\pm 20k+1\equiv \pm 20k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^8\equiv \left ( \pm 20k+1 \right )^2=400k^2\pm 40k+1\equiv \pm 40k+1$ (mod $25$)

Do đó $a^8+3a^4-4\equiv \left ( \pm 15k+1 \right )+3\left ( \pm 20k+1 \right )-4= \pm 75k$ (mod $25$) hay $a^8+3a^4-4\vdots 25$.

Trường hợp $2$ : $a=5k\pm 2$ ($k\in\mathbb{Z}$), chứng minh hoàn toàn tương tự.

Vậy $a^8+3a^4-4\vdots 25$ với mọi $a$ không chia hết cho $5$.

Lại có $(4;25)=1$ nên $a^8+3a^4-4\vdots 100$ với $a$ không chia hết cho $5$.