Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một vài tương tự của đại số trong số học

lý thuyết số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-08-2015 - 14:30

Mình mở ra chủ đề này nhằm giới thiệu một vài kiến thức đại số mà một vài biểu hiện của nó trong số học. Đây là một điều đã biết đến từ lâu, và có thể sử dụng để giải một số bài toán số học. Có thể nhiều phần dưới đây được trình bày theo a classical introduction to modern number theory của Ireland & Rosen và algebraic number theory của Jurgen Neukirch (tất nhiên 2 quyển sách này có mục tiêu hoàn toàn khác). Mình cố trình bày sao cho sơ cấp và cố gắng giữ nguyên các ý tưởng.

 

TẬP CÁC SỐ NGUYÊN MODULO P

 

Hiểu theo một nghĩa nào đó, tập các số nguyên modulo n mô phỏng lại các sự kiện trong lý thuyết đồng dư, nhưng thay dấu "$\equiv$" bởi $=$. Tuy nhiên việc nhìn dưới góc độ đại số giúp dễ hiểu hơn trong một số trường hợp. Tập này được xây dựng như sau. Quan tâm tập các số nguyên $\mathbb{Z}$. Với mỗi $n$ cho trước, ta phân hoạch được $\mathbb{Z}$ bởi các tập $\overline{r}=\{x|x=nq+r\}$ (0\leq r\leq n-1)(tập tất cả các số nguyên chia $n$ dư $r$):

$$\mathbb{Z}=\bigcup_{r=0}^{n-1} \overline{r}$$

do mỗi số nguyên đều có dạng $nq+r (0\leq r\ leq n-1)$ theo phép chia Euclid. Tập các tập hợp này được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n$:

$$\mathbb{Z}/n=\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{n-1}\}$$ và được gọi là tập các số nguyên modulo n.

Với mỗi $z \in \mathbb{Z}$ ta định nghĩa $\overline{z}$ là tập $\overline{r}$ nào đó chứa $\overline{z}$ (như vậy kí hiệu ngang "trước" và ngang "sau" như nhau trong trường hợp $0\leq z\leq n-1$). Ta cũng kí hiệu sự kiện $\overline{a}=\overline{b}$ bởi $a\equiv b (mod n)$

 

Bài tập

 

1. Chứng minh rằng $\overline{a}=\overline{b}$ trong $\mathbb{Z}/n$ nếu và chỉ nếu $n|b-a$

2. Định nghĩa phép "+" trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Chứng minh rằng đây là một định nghĩa "tốt", tức là nếu ta có: $\overline{a}=\overline{c},\overline{b}=\overline{d}$ thì $\overline{a+b}=\overline{c+d}$

3. Định nghĩa phép "." trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}.\overline{b}=\overline{a.b}$, không mất hình thức ta có thể bỏ dấu "." trong biểu thức. Chứng minh rằng phép toán này định nghĩa tốt theo nghĩa như bài 2.

4. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một đơn vị nếu nó "chia hết 1", tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ sao cho $xu=\overline{1}$. Tập tất cả các phần tử như vậy được gọi là nhóm nhân của $\mathbb{Z}/n$ và được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n^{\times}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Z}/n^{\times}=\{\overline{x}|0\leq x\leq n-1, (x,n)=1\}$.

5. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một ước của 0 nếu nó "chia hết 0" tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ khác $\overline{0}$ sao cho $xu=\overline{0}$. Chứng minh rằng tập các ước của 0 là tầm thường, tức là bằng $\{\overline{0}\}$ nếu và chỉ nếu $n$ là nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-08-2015 - 17:01


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-08-2015 - 20:39

1. Chứng minh rằng $\overline{a}=\overline{b}$ trong $\mathbb{Z}/n$ nếu và chỉ nếu $n|b-a$

Lời giải. Nếu $\overline{a}=\overline{b}$. Xét $nq+a \in \overline{a}$. Vì $\overline{a}= \overline{b}$ nên $nq+a \in \overline{b}$ hay $nq+a \equiv b \pmod{n}$. Ta suy ra $n|a-b$.

Nếu $n|b-a$ thì với mỗi $nq+a \in \overline{a}$ suy ra $nq+a \in \overline{b}$. Tương tự với mỗi $nq+b \in \overline{b}$ suy ra $nq+b \in \overline{a}$. Do đó $\overline{a}= \overline{b}$.

 

2. Định nghĩa phép "+" trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Chứng minh rằng đây là một định nghĩa "tốt", tức là nếu ta có: $\overline{a}=\overline{c},\overline{b}=\overline{d}$ thì $\overline{a+b}=\overline{c+d}$

Lời giải. Từ $\overline{a}=\overline{c}, \overline{b}= \overline{d}$ ta suy ra $n|c-a,n|d-b$. Do đó $n|(c+d)-(a+b)$. Ta suy ra $\overline{a+b}=\overline{c+d}$.

 

3. Định nghĩa phép "." trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}.\overline{b}=\overline{a.b}$, không mất hình thức ta có thể bỏ dấu "." trong biểu thức. Chứng minh rằng phép toán này định nghĩa tốt theo nghĩa như bài 2.

Lời giải. Tương tự bài 2, $n|a-c,n|b-d$ nên $n|ab-cd$ suy ra $\overline{ab}=\overline{cd}$.

 

Ps: Em sẽ chuyển topic này sang box Chuyên đề, bài viết số học.

Kiến thức này có giải được bài nào bên toán sơ cấp không anh ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 20:41

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-08-2015 - 20:47

4. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một đơn vị nếu nó "chia hết 1", tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ sao cho $xu=\overline{1}$. Tập tất cả các phần tử như vậy được gọi là nhóm nhân của $\mathbb{Z}/n$ và được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n^{\times}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Z}/n^{\times}=\{\overline{x}|0\leq x\leq n-1, (x,n)=1\}$.

Sao $xu= \overline{1}$ được ạ ? Em tưởng $\overline{1}$ là một tập hợp.  :mellow:

 

Lời giải. Vì $xu \in \overline{1}$ nên $\gcd (x,n)=1$.

Xét nếu $\gcd (x,n)=1$. Trước hết, ta có định lý sau:

Định lý Bezout. Cho các số nguyên dương $a,b$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x,y$ mà $ax+by= \gcd (a,b)$.

Chọn $a=x,b=n$ thì khi đó theo định lý tồn tại $(k,l)$ thoả mãn $xk+nl= \gcd (x,n)=1$ hay $xk \equiv 1 \pmod{n}$ hay $xk \in \overline{1}$.

Do đó $\mathbb{Z}/n^{\times}= \{ \overline{x}|0 \le x \le n-1, \gcd (x,n)=1 \}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 21:10

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-08-2015 - 21:25

Sao $xu= \overline{1}$ được ạ ? Em tưởng $\overline{1}$ là một tập hợp.  :mellow:

 

Lời giải. Vì $xu \in \overline{1}$ nên $\gcd (x,n)=1$.

Xét nếu $\gcd (x,n)=1$. Trước hết, ta có định lý sau:

Định lý Bezout. Cho các số nguyên dương $a,b$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x,y$ mà $ax+by= \gcd (a,b)$.

Chọn $a=x,b=n$ thì khi đó theo định lý tồn tại $(k,l)$ thoả mãn $xk+nl= \gcd (x,n)=1$ hay $xk \equiv 1 \pmod{n}$ hay $xk \in \overline{1}$.

Do đó $\mathbb{Z}/n^{\times}= \{ \overline{x}|0 \le x \le n-1, \gcd (x,n)=1 \}$.

Ừ. Mỗi phần tử của $\mathbb{Z}/n$ là một tập hợp mà. Em hiểu nhầm x,u rồi, bản thân mỗi x,u đã là một tập hợp rồi, tức là có dạng $\overline{a}$ nào đó, chứ không phải $x,u$ là số nguyên đâu. Anh cũng đã viết rõ $x,u \in \mathbb{Z}/n$ rồi. Tất nhiên là sẽ có một số ứng dụng nhưng mà anh chưa có thời gian viết. Mai anh  gửi tiếp. Cứ hiểu rõ cái tập này đã.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-08-2015 - 21:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh