Đến nội dung

Hình ảnh

Một vài tương tự của đại số trong số học

lý thuyết số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Mình mở ra chủ đề này nhằm giới thiệu một vài kiến thức đại số mà một vài biểu hiện của nó trong số học. Đây là một điều đã biết đến từ lâu, và có thể sử dụng để giải một số bài toán số học. Có thể nhiều phần dưới đây được trình bày theo a classical introduction to modern number theory của Ireland & Rosen và algebraic number theory của Jurgen Neukirch (tất nhiên 2 quyển sách này có mục tiêu hoàn toàn khác). Mình cố trình bày sao cho sơ cấp và cố gắng giữ nguyên các ý tưởng.

 

TẬP CÁC SỐ NGUYÊN MODULO P

 

Hiểu theo một nghĩa nào đó, tập các số nguyên modulo n mô phỏng lại các sự kiện trong lý thuyết đồng dư, nhưng thay dấu "$\equiv$" bởi $=$. Tuy nhiên việc nhìn dưới góc độ đại số giúp dễ hiểu hơn trong một số trường hợp. Tập này được xây dựng như sau. Quan tâm tập các số nguyên $\mathbb{Z}$. Với mỗi $n$ cho trước, ta phân hoạch được $\mathbb{Z}$ bởi các tập $\overline{r}=\{x|x=nq+r\}$ (0\leq r\leq n-1)(tập tất cả các số nguyên chia $n$ dư $r$):

$$\mathbb{Z}=\bigcup_{r=0}^{n-1} \overline{r}$$

do mỗi số nguyên đều có dạng $nq+r (0\leq r\ leq n-1)$ theo phép chia Euclid. Tập các tập hợp này được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n$:

$$\mathbb{Z}/n=\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{n-1}\}$$ và được gọi là tập các số nguyên modulo n.

Với mỗi $z \in \mathbb{Z}$ ta định nghĩa $\overline{z}$ là tập $\overline{r}$ nào đó chứa $\overline{z}$ (như vậy kí hiệu ngang "trước" và ngang "sau" như nhau trong trường hợp $0\leq z\leq n-1$). Ta cũng kí hiệu sự kiện $\overline{a}=\overline{b}$ bởi $a\equiv b (mod n)$

 

Bài tập

 

1. Chứng minh rằng $\overline{a}=\overline{b}$ trong $\mathbb{Z}/n$ nếu và chỉ nếu $n|b-a$

2. Định nghĩa phép "+" trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Chứng minh rằng đây là một định nghĩa "tốt", tức là nếu ta có: $\overline{a}=\overline{c},\overline{b}=\overline{d}$ thì $\overline{a+b}=\overline{c+d}$

3. Định nghĩa phép "." trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}.\overline{b}=\overline{a.b}$, không mất hình thức ta có thể bỏ dấu "." trong biểu thức. Chứng minh rằng phép toán này định nghĩa tốt theo nghĩa như bài 2.

4. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một đơn vị nếu nó "chia hết 1", tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ sao cho $xu=\overline{1}$. Tập tất cả các phần tử như vậy được gọi là nhóm nhân của $\mathbb{Z}/n$ và được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n^{\times}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Z}/n^{\times}=\{\overline{x}|0\leq x\leq n-1, (x,n)=1\}$.

5. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một ước của 0 nếu nó "chia hết 0" tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ khác $\overline{0}$ sao cho $xu=\overline{0}$. Chứng minh rằng tập các ước của 0 là tầm thường, tức là bằng $\{\overline{0}\}$ nếu và chỉ nếu $n$ là nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-08-2015 - 17:01


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

1. Chứng minh rằng $\overline{a}=\overline{b}$ trong $\mathbb{Z}/n$ nếu và chỉ nếu $n|b-a$

Lời giải. Nếu $\overline{a}=\overline{b}$. Xét $nq+a \in \overline{a}$. Vì $\overline{a}= \overline{b}$ nên $nq+a \in \overline{b}$ hay $nq+a \equiv b \pmod{n}$. Ta suy ra $n|a-b$.

Nếu $n|b-a$ thì với mỗi $nq+a \in \overline{a}$ suy ra $nq+a \in \overline{b}$. Tương tự với mỗi $nq+b \in \overline{b}$ suy ra $nq+b \in \overline{a}$. Do đó $\overline{a}= \overline{b}$.

 

2. Định nghĩa phép "+" trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Chứng minh rằng đây là một định nghĩa "tốt", tức là nếu ta có: $\overline{a}=\overline{c},\overline{b}=\overline{d}$ thì $\overline{a+b}=\overline{c+d}$

Lời giải. Từ $\overline{a}=\overline{c}, \overline{b}= \overline{d}$ ta suy ra $n|c-a,n|d-b$. Do đó $n|(c+d)-(a+b)$. Ta suy ra $\overline{a+b}=\overline{c+d}$.

 

3. Định nghĩa phép "." trên $\mathbb{Z}/n$ như sau: $\overline{a}.\overline{b}=\overline{a.b}$, không mất hình thức ta có thể bỏ dấu "." trong biểu thức. Chứng minh rằng phép toán này định nghĩa tốt theo nghĩa như bài 2.

Lời giải. Tương tự bài 2, $n|a-c,n|b-d$ nên $n|ab-cd$ suy ra $\overline{ab}=\overline{cd}$.

 

Ps: Em sẽ chuyển topic này sang box Chuyên đề, bài viết số học.

Kiến thức này có giải được bài nào bên toán sơ cấp không anh ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 20:41

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

4. Một phần tử $x$ trong $\mathbb{Z}/n$ được gọi là một đơn vị nếu nó "chia hết 1", tức là tồn tại $u \in \mathbb{Z}/n$ sao cho $xu=\overline{1}$. Tập tất cả các phần tử như vậy được gọi là nhóm nhân của $\mathbb{Z}/n$ và được kí hiệu bởi $\mathbb{Z}/n^{\times}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Z}/n^{\times}=\{\overline{x}|0\leq x\leq n-1, (x,n)=1\}$.

Sao $xu= \overline{1}$ được ạ ? Em tưởng $\overline{1}$ là một tập hợp.  :mellow:

 

Lời giải. Vì $xu \in \overline{1}$ nên $\gcd (x,n)=1$.

Xét nếu $\gcd (x,n)=1$. Trước hết, ta có định lý sau:

Định lý Bezout. Cho các số nguyên dương $a,b$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x,y$ mà $ax+by= \gcd (a,b)$.

Chọn $a=x,b=n$ thì khi đó theo định lý tồn tại $(k,l)$ thoả mãn $xk+nl= \gcd (x,n)=1$ hay $xk \equiv 1 \pmod{n}$ hay $xk \in \overline{1}$.

Do đó $\mathbb{Z}/n^{\times}= \{ \overline{x}|0 \le x \le n-1, \gcd (x,n)=1 \}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 21:10

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Sao $xu= \overline{1}$ được ạ ? Em tưởng $\overline{1}$ là một tập hợp.  :mellow:

 

Lời giải. Vì $xu \in \overline{1}$ nên $\gcd (x,n)=1$.

Xét nếu $\gcd (x,n)=1$. Trước hết, ta có định lý sau:

Định lý Bezout. Cho các số nguyên dương $a,b$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x,y$ mà $ax+by= \gcd (a,b)$.

Chọn $a=x,b=n$ thì khi đó theo định lý tồn tại $(k,l)$ thoả mãn $xk+nl= \gcd (x,n)=1$ hay $xk \equiv 1 \pmod{n}$ hay $xk \in \overline{1}$.

Do đó $\mathbb{Z}/n^{\times}= \{ \overline{x}|0 \le x \le n-1, \gcd (x,n)=1 \}$.

Ừ. Mỗi phần tử của $\mathbb{Z}/n$ là một tập hợp mà. Em hiểu nhầm x,u rồi, bản thân mỗi x,u đã là một tập hợp rồi, tức là có dạng $\overline{a}$ nào đó, chứ không phải $x,u$ là số nguyên đâu. Anh cũng đã viết rõ $x,u \in \mathbb{Z}/n$ rồi. Tất nhiên là sẽ có một số ứng dụng nhưng mà anh chưa có thời gian viết. Mai anh  gửi tiếp. Cứ hiểu rõ cái tập này đã.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-08-2015 - 21:25






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lý thuyết số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh