Chủ đề này có 3 trả lời

[quocdat8a1]

Chứng minh rằng trong tứ giác ngoại tiếp, đường thẳng nối 2 tiếp điểm tạo bởi đường tròn nội tiếp và 2 cạnh đối với nhau đi qua giao điểm của 2 đường chéo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 15:24

[Changg Changg]

Giả sử tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(I)$ và $AB,BC,CD,DA$ lần lược tiếp xúc với $(I)$ tại $E,F,G,H$

Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ với $FH$, $A', C'$ lần lược là hình chiếu của $A, C$ trên $FH$

Dễ thấy $\widehat{C'FC}=\widehat{A'HA}$ nên $\dfrac{AH}{CF}=\dfrac{AA'}{CC'}=\dfrac{AP}{PC}$

Gọi $P'$ là giao điểm của $AC$ với $EG$. $A'', C''$ lần lược là hình chiếu của $A, C$ trên $EG$

Tương tự ta chứng minh được $\dfrac{AE}{CG}=\dfrac{AP'}{P'C}$. Vậy $P\equiv P'$

[Bonjour]

Chứng minh rằng trong tứ giác ngoại tiếp, đường thẳng nối 2 tiếp điểm tạo bởi đường tròn nội tiếp và 2 cạnh đối với nhau đi qua giao điểm của 2 đường chéo

Giả sử $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$ và các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$ là $M,N,P,Q$ . Gọi giao điểm hai cạnh đối của tứ giác $ABCD$ là $I$ với $(BC\cap AD=I)$

 Ta có : $NP,NM,NN,NJ$ lần lượt vuông $OC,OB,ON,IO$ 

Cho nên $(ICNB)=O(ICNB)=N(QPNM)$

          và $(IAQD)=O(IAQD)=Q(QPNM)$

Mặt khác vì $M,N,P,Q$ đồng viên nên $N(QPNM)=Q(QPNM)$

Suy ra $(ICNB)=(IAQD)$ .Có  nghĩa là $CA,QN,BD$ đồng quy .Tương tự cho các điều còn lại

[Bonjour]

Hoặc dùng định lý Pascal để chứng minh bài toán trên ,như sau:
Xét lục giác $MQQPPN$ có $NP\cap QM=K,MP\cap QN=H,QQ\cap PP=G\Rightarrow \overline{K,H,G}$

Xét lục giác $MMNNPQ$ có $MP\cap NQ=H,MQ\cap NP=K,MM\cap NN=B\Rightarrow \overline{B,K,H}$

 Từ đó $B,D,H$ thẳng hàng ,chứng minh tương tự ta có $A,C,H$ .Vậy là ta có điều phải chứng minh