Chứng minh rằng trong tứ giác ngoại tiếp, đường thẳng nối 2 tiếp điểm tạo bởi đường tròn nội tiếp và 2 cạnh đối với nhau đi qua giao điểm của 2 đường chéo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 15:24
Chứng minh rằng trong tứ giác ngoại tiếp, đường thẳng nối 2 tiếp điểm tạo bởi đường tròn nội tiếp và 2 cạnh đối với nhau đi qua giao điểm của 2 đường chéo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 15:24
Giả sử tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(I)$ và $AB,BC,CD,DA$ lần lược tiếp xúc với $(I)$ tại $E,F,G,H$
Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ với $FH$, $A', C'$ lần lược là hình chiếu của $A, C$ trên $FH$
Dễ thấy $\widehat{C'FC}=\widehat{A'HA}$ nên $\dfrac{AH}{CF}=\dfrac{AA'}{CC'}=\dfrac{AP}{PC}$
Gọi $P'$ là giao điểm của $AC$ với $EG$. $A'', C''$ lần lược là hình chiếu của $A, C$ trên $EG$
Tương tự ta chứng minh được $\dfrac{AE}{CG}=\dfrac{AP'}{P'C}$. Vậy $P\equiv P'$
Chứng minh rằng trong tứ giác ngoại tiếp, đường thẳng nối 2 tiếp điểm tạo bởi đường tròn nội tiếp và 2 cạnh đối với nhau đi qua giao điểm của 2 đường chéo
Giả sử $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$ và các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$ là $M,N,P,Q$ . Gọi giao điểm hai cạnh đối của tứ giác $ABCD$ là $I$ với $(BC\cap AD=I)$
Ta có : $NP,NM,NN,NJ$ lần lượt vuông $OC,OB,ON,IO$
Cho nên $(ICNB)=O(ICNB)=N(QPNM)$
và $(IAQD)=O(IAQD)=Q(QPNM)$
Mặt khác vì $M,N,P,Q$ đồng viên nên $N(QPNM)=Q(QPNM)$
Suy ra $(ICNB)=(IAQD)$ .Có nghĩa là $CA,QN,BD$ đồng quy .Tương tự cho các điều còn lại
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
Hoặc dùng định lý Pascal để chứng minh bài toán trên ,như sau:
Xét lục giác $MQQPPN$ có $NP\cap QM=K,MP\cap QN=H,QQ\cap PP=G\Rightarrow \overline{K,H,G}$
Xét lục giác $MMNNPQ$ có $MP\cap NQ=H,MQ\cap NP=K,MM\cap NN=B\Rightarrow \overline{B,K,H}$
Từ đó $B,D,H$ thẳng hàng ,chứng minh tương tự ta có $A,C,H$ .Vậy là ta có điều phải chứng minh
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh